Question

“6”字形圖中，F(xiàn)M是大⊙O的直徑，BC與大⊙O相切于B，OB與小⊙O相交于A，AD∥BC，CD∥BH∥FM，DH⊥BH于H，設∠FOB=α，OB=4，BC=6．
（1）求證：AD為小⊙O的切線；
（2）在圖中找出一個可用α表示的角，并說明你這樣表示的理由；（根據(jù)所寫結(jié)果的正確性及所需推理過程的難易程度得分略有差異）
（3）當α=30°時，求DH的長．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析：（1）求證AD是小⊙O的切線，證OA⊥AD即可．由于BC是大⊙O的切線，可得OB⊥BC，而BC∥AD，即可證得OA⊥AD；
（2）大致有四種角：
①與α的度數(shù)相等；由于BH∥FM，則∠GBA=∠FOB=α，而∠GBA、∠GDH是等角的余角，因此∠GDH=α．所以∠GBA=∠GDH=α；
②度數(shù)為90°-α的角；在Rt△ABG中，∠AGB=90°-α，而∠DGH和∠BGA是對頂角，故∠DGH=90°-α；由于DG∥BC，則同位角∠DGH=∠CBG；在平行四邊形CBGD中，對角∠CBG=∠D；故度數(shù)為90°-α的角有：∠AGB=∠DGH=∠CBG=∠D=90°-α；
③度數(shù)為90°+α的角；∠BGD是△ABG的外角，則∠C=∠BGD=90°+α；
④度數(shù)為180°-α的角；由于∠FOB和∠BOM互補，則∠BOM=180°-α；
（3）由（2）知：四邊形BGDC是平行四邊形，則BC=DG=6，而∠GDH=α=30°，通過解直角三角形即可求出DH的長．

解答：（1）證明：∵BC是大⊙O的切線，
∴∠CBO=90°．
∵BC∥AD，
∴∠BAD=90°即OA⊥AD．
又∵點A在小⊙O上，
∴AD是小⊙O的切線．

（2）解：（答案不唯一）所寫結(jié)果分層如下：
A層次：①∠BOM=180°-α；②∠GBO=α；③∠BGA=90°-α；④∠DGH=90°-α；⑤∠CBG=90°-α；⑥∠BGD=90°+α；
B層次：⑦∠GDH=α；⑧∠CDA=90-α；⑨∠C=90°+α
相應的說明過程如下：
A層次：選③
理由：∵BH∥FM，∴∠GBO=∠FOB=α．
由（1）可知，∠BAG=90°，∴∠BGA=90°-α．
B層次：選⑨
理由：∵BH∥FM，∴∠GBO=∠FOB=α．
由（1）可知，∠BAG=90°，
∴∠BGA=90°-α．
∵CD∥BG，∴∠CDG=∠BGA=90°-α．
∵CB∥AD，
∴∠C=180°-∠CDG=180°-（90°-α）=90°+α．

（3）解：∵CD∥BG，CB∥DG，
∴四邊形BGDC是平行四邊形．
∴DG=BC=6，
由（2）⑦得：∠GDH=α=30°，
又∠DGH=90°-∠GDH=90°-30°=60°，
∵∠DHG=90°，
∴DH=DG•sin∠DGH=sin60°×6=3

3

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點評：此題主要考查的是學生對基礎知識的掌握，涉及的知識點有：切線的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及解直角三角形的應用等．