Question

如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)的一點，DA=5，DB=4，DC=3，將線段AD以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD′，下列結(jié)論：
①點D與點D′的距離為5；②△ACD′可以由△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；③∠ADC=150°；④點D到CD′的距離為3；⑤，
其中正確的有

1. A.
   2個
2. B.
   3個
3. C.
   4個
4. D.
   5個

Answer 1

C
分析：連結(jié)DD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AD′，∠DAD′=60°，可判斷△ADD′為等邊三角形，則DD′=5，可對①進(jìn)行判斷；由△ABC為等邊三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，
則把△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，于是可對②進(jìn)行判斷；再根據(jù)勾股定理的逆定理得到△DD′C為直角三角形，則可對③④進(jìn)行判斷；由于
S_{四邊形ADCD′}=S_△ADD′+S_△D′DC，利用等邊三角形的面積公式和直角三角形面積公式計算后可對⑤進(jìn)行判斷．
解答：連結(jié)DD′，如圖，
∵線段AD以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=60°，
∴△ADD′為等邊三角形，
∴DD′=5，所以①正確；
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，
∴△ACD′可以由△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，所以②正確；
∴D′C=DB=4，
∵DC=3，
在△DD′C中，
∵3²+4²=5²，
∴DC²+D′C²=DD′²，
∴△DD′C為直角三角形，
∴∠DCD′=90°，
∵△ADD′為等邊三角形，
∴∠ADD′=60°，
∴∠ADC≠150°，所以③錯誤；
∵∠DCD′=90°，
∴DC⊥CD′，
∴點D到CD′的距離為3，所以④正確；
∵S_△ADD′+S_△D′DC
=×5²+×3×4
=6+，所以⑤正確．
故選C．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．