Question

10．如圖直角坐標(biāo)系中，直線l：y=kx+k經(jīng)過A、B兩點(diǎn)；點(diǎn)B（0，3）；點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的從原點(diǎn)開始在y軸的正半軸向上勻速運(yùn)動(dòng)；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，直線y=t經(jīng)過點(diǎn)P，且隨P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)．
（1）求k的值和點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t=1.5秒時(shí)，直線y=t與直線l交于點(diǎn)M，反比例函數(shù)y=$\frac{n}{x}$經(jīng)過點(diǎn)M，求反比例函數(shù)的解析式；
（3）若直線y=t與直線l的交點(diǎn)不在第二象限，求t的取值范圍；
（4）點(diǎn)C（3，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在直線y=t上，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)B（0，3）代入y=kx+k，求出k的值，得出直線l的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t=1.5秒時(shí)，點(diǎn)P恰好是OB的中點(diǎn)，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1.5，將y=1.5代入直線l的解析式，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（3）直線y=t與直線l的交點(diǎn)不在第二象限時(shí)，交點(diǎn)在第一或第三象限，根據(jù)A、B縱坐標(biāo)的值即可求出t的取值范圍；
（4）設(shè)點(diǎn)C（3，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出直線l垂直平分線段CC′，設(shè)直線CC′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+b，把C（3，0）代入，利用待定系數(shù)法求出直線CC′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，設(shè)C′（x，-$\frac{1}{3}$x+1），根據(jù)AC′=AC，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，得到C′坐標(biāo)，進(jìn)而求解即可．

解答 解：（1）∵直線l：y=kx+k經(jīng)過點(diǎn)B（0，3），
∴k=3，
∴直線l的解析式為y=3x+3，
令y=0，則3x+3=0，解得x=-1，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0）；

（2）∵當(dāng)t=1.5秒時(shí)，OP=1.5，
而B（0，3），
∴點(diǎn)P恰好是OB的中點(diǎn)；
又∵直線y=t與x軸平行，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1.5；
∵點(diǎn)M又在直線l上，
∴3x+3=1.5，解得x=-0.5；
∴M（-0.5，1.5）．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{n}{x}$經(jīng)過點(diǎn)M，
∴n=-0.5×1.5=-$\frac{3}{4}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{3}{4x}$；

（3）∵A（-1，0），B（0，3），
∴根據(jù)圖象，可知直線y=t與直線l的交點(diǎn)不在第二象限時(shí)，t的取值范圍是t≤0或t≥3；

（4）設(shè)點(diǎn)C（3，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，
則直線l垂直平分線段CC′，
∵直線l的解析式為y=3x+3，
∴可設(shè)直線CC′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+b，
把C（3，0）代入，得-1+b=0，
解得b=1，
∴直線CC′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，
設(shè)C′（x，-$\frac{1}{3}$x+1），
∵AC′=AC，A（-1，0），C（3，0），
∴（x+1）²+（-$\frac{1}{3}$x+1）²=4²，
解得x₁=-$\frac{21}{5}$，x₂=3（舍去），
∴x=-$\frac{21}{5}$，
∴C′（-$\frac{21}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∵點(diǎn)C′在直線y=t上，
∴t的值為$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，有一定難度．利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．