Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+6x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y＝x﹣5經(jīng)過點(diǎn)B，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)N為拋物線上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠NBA＝∠OAC時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，

（3）過點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M，當(dāng)AM⊥BC時(shí)，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)A，M，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）N的坐標(biāo)為（﹣4，﹣45）；（3）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或或．

【解析】

（1）先求出C（0，﹣5），B（5，0），代入y＝ax2+6x+c得a、c的值，即可得出結(jié)果；

（2）求出A（1，0），得出OA＝1，OC＝5．過拋物線上任意一點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，連接AC、BN，由∠OAC是銳角，則N點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于5，易證△NBH～△CAO，得出，設(shè)N的坐標(biāo)為（n，﹣n2+6n﹣5），則NH＝|﹣n2+6n﹣5|，BH＝|5﹣n|，得出，求出n的值即可得出結(jié)果；

（3）證明△OCB和△AMB都為等腰直角三角形，則AM＝AB＝，由平行四邊形的性質(zhì)得出AM//PQ，PQ＝AM＝，推出PQ⊥BC，作PD⊥x軸交直線BC于D，由平行線的性質(zhì)得出∠PDQ＝∠OCB＝45°，則△DPQ是等腰直角三角形，得出PD＝PQ＝4，設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），則D（m，m﹣5），當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，PD＝﹣m2+5m＝4，解方程即可；當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，PD＝m2﹣5m＝4，解方程即可得出結(jié)果．

解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x﹣5＝﹣5，

則C（0，﹣5），

當(dāng)y＝0時(shí)，x﹣5＝0，

解得：x＝5，

∴B（5，0），

把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：，

解得： ，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+6x﹣5；

（2）令﹣x2+6x﹣5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，

∴A（1，0），

∵C（0，﹣5），

∴OA＝1，OC＝5．

過拋物線上任意一點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，連接AC、BN，如圖1所示：

∵∠OAC是銳角，

∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于5，

∵∠NBA＝∠OAC，∠NHB＝90°＝∠AOC，

∴△NBH～△CAO，

∴，

設(shè)N的坐標(biāo)為（n，﹣n2+6n﹣5），

則NH＝|﹣n2+6n﹣5|，BH＝|5﹣n|，

∴，

∴或，

當(dāng)時(shí)，

解得：n1＝5（舍去），n2＝6（舍去）．

當(dāng)時(shí)，

解得：n1＝5（舍去），n2＝﹣4，

當(dāng)n＝﹣4時(shí)，﹣n2+6n﹣5＝﹣45，

∴N為（﹣4，﹣45）．

綜上所述，N的坐標(biāo)為（﹣4，﹣45）；

（3）∵A（1，0），B（5，0），C（0，﹣5），

∴AB＝4，△OCB為等腰直角三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∵AM⊥BC，

∴△AMB為等腰直角三角形，

∴AM＝AB＝×4＝，

∵以點(diǎn)A，M，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴AM//PQ，PQ＝AM＝，

∴PQ⊥BC，

作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖2所示：

則∠PDQ＝∠OCB＝45°，

∴△DPQ是等腰直角三角形，

∴PD＝PQ＝，

設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），則D（m，m﹣5），

當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，

解得m1＝1（舍去），m2＝4，

當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，

解得：m1＝，m2＝，

綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或或．