Question

（2006•曲靖）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，AB＜CD且∠ABC為銳角，若AD=4，BC=12，E為BC上一點，問：當CE分別為何值時，四邊形ABED是等腰梯形，直角梯形？請分別說明理由．

Answer 1

【答案】分析：在BC上截取CE=AD，連接DE、AE，根據已知判定四邊形ABED是梯形，再利用全等三角形的判定得到AB=DE，從而得到四邊形ABDE是等腰梯形；
在BC上找一點E′，使CE′=BE′=BC=6，連接DE′．由已知BD=DC，得到DE′⊥BC，因為BE′≠AD，AD∥BE′，得出AB不平行于DE′，所以四邊形ABE′D是直角梯形．
解答：解：（1）當CE=4時，四邊形ABDE是等腰梯形．（1分）
理由如下：在BC上截取CE=AD，連接DE、AE．
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，（2分）
∴AE=CD=BD；
∵BE=12-4=8＞4，
即BE＞AD，
∴四邊形ABED不是平行四邊形，
∴AB不平行于DE；
∴四邊形ABED是梯形．（3分）
∵AE∥CD，CD=BD，
∴∠AEB=∠C=∠DBC；
在△ABE和△DEB中
∴△ABE≌△DEB（SAS）；
∴AB=DE；
∴四邊形ABDE是等腰梯形．（5分）

（2）當CE′=6時，四邊形ABE′D是直角梯形．（6分）
理由如下：在BC上找一點E′，使CE′=BE′=BC=6，連接DE′．
∵BD=CD，
∴DE′⊥BC．
又∵BE′≠AD，AD∥BE′，
∴AB不平行于DE′（7分）
∴四邊形ABE′D是直角梯形．（8分）
點評：此題考查學生對等腰梯形的判定和直角梯形的判定的掌握情況，做題注意輔助線的添加及有關全等三角形的判定的運用．