【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,ACBD相交于O點(diǎn),OC=OA,若ECD上任意一點(diǎn),連接BEAC于點(diǎn)F,連接DF

1)證明:CBF≌△CDF;

2)若AC=2BD=2,求四邊形ABCD的周長;

3)請你添加一個(gè)條件,使得EFD=BAD,并予以證明.

【答案】(1)證明見解析;(2)8;(3)EBCD,證明見解析.

【解析】

試題分析:(1)首先利用SSS定理證明ABC≌△ADC可得BCA=DCA即可證明CBF≌△CDF.

(2)由ABC≌△ADC可知,ABC與ADC是軸對(duì)稱圖形,得出OB=OD,COB=COD=90°,因?yàn)镺C=OA,所以AC與BD互相垂直平分,即可證得四邊形ABCD是菱形,然后根據(jù)勾股定理全等AB長,進(jìn)而求得四邊形的面積.

(3)首先證明BCF≌△DCF可得CBF=CDF,再根據(jù)BECD可得BEC=DEF=90°,進(jìn)而得到EFD=BCD=BAD.

試題解析:(1)證明:在ABC和ADC中,

∴△ABC≌△ADC(SSS),

∴∠BCA=DCA,

CBF和CDF中,

∴△CBF≌△CDF(SAS),

(2)解:∵△ABC≌△ADC,

∴△ABC和ADC是軸對(duì)稱圖形,

OB=OD,BDAC,

OA=OC,

四邊形ABCD是菱形,

AB=BC=CD=DA,

AC=2,BD=2,

OA=,OB=1,

AB=,

四邊形ABCD的周長=4AB=4×2=8.

(3)當(dāng)EBCD時(shí),即E為過B且和CD垂直時(shí)垂線的垂足,EFD=BCD,

理由:四邊形ABCD為菱形,

BC=CD,BCF=DCF,BCD=BAD,

∵△BCF≌△DCF,

∴∠CBF=CDF,

BECD,

∴∠BEC=DEF=90°,

∴∠BCD+CBF=90°,EFD+CDF=90°,

∴∠EFD=BAD.

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