Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF．
（1）證明BF是⊙O的切線；
（2）設(shè)AC與BF的延長線交于點(diǎn)M，若MC=6，求∠MCF的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)OB=OC，可得∠BCO=∠CBO，再由FC=FB，得∠FCB=∠FBC，從而得出∠FBO=90°，即可證出結(jié)論；
（2）由∠MCF+∠ACO=90°，∠M+∠A=90°，可得CF=MF，易證△ACB∽△ABM，則．由勾股定理求得BM，根據(jù)三角函數(shù)得出∠MCF的大小．
解答：證明：連接OF．
（1）∵CF⊥OC，
∴∠FCO=90°．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO．
∴∠BCO+∠FCB=∠CBO+∠FBC．
即∠FBO=∠FCO=90°．
∴OB⊥BF．
∵OB是⊙O的半徑，
∴BF是⊙O的切線（2分）

（2）∵∠FBO=∠FCO=90°，
∴∠MCF+∠ACO=90°，∠M+∠A=90°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A．
∴∠FCM=∠M．（3分）
∵∠ACB=∠ABM=90°，∠A是公共角，
∴△ACB∽△ABM，
∴．
∵AB=4，MC=6，
∴4²=AC（AC+6），
∴AC=2（4分）
∴AM=8，BM==．
∴cos∠MCF=cosM==．
∴∠MCF=30°（5分）
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、切線的判定和性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．