Question

1．已知如圖所示，矩形ABCD，P為BC上的一點，連接AP，過D點做DH⊥AP交AP與H，AB=2$\sqrt{2}$，BC=4，當(dāng)△CDH為等腰三角形時，則BP=4-2$\sqrt{2}$、2$\sqrt{2}$或2．

Answer 1

分析 分HD=HC、DH=DC以及CH=CD三種情況考慮：①當(dāng)HD=HC時，過點H作HE⊥CD于點E，延長EH交AB于點F，連接DP，由△CDH為等腰三角形找出點H為AP的中點，再結(jié)合DH⊥AP可得出AD=DP，設(shè)BP=a，利用勾股定理即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；②當(dāng)DH=DC時，利用勾股定理可求出AH的長度，進而得出∠DAH=45°，由平行線的性質(zhì)可得出∠APB=45°，進而得出△ABP為等腰直角三角形，即BP=AB；③當(dāng)CH=CD時，過點C作CE⊥DH于點E，延長CE交AD于點F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出DF=AF=$\frac{1}{2}$AD，由DH⊥CF、DH⊥AP即可得出CF∥AP，結(jié)合AF∥CP即可得出四邊形AFCP為平行四邊形，進而得出AF=CP，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出AF的長度，結(jié)合BC的長度以及AF=CP即可求出BP的長度．

解答 解：①當(dāng)HD=HC時，過點H作HE⊥CD于點E，延長EH交AB于點F，連接DP，如圖1所示．
∵HD=HC，
∴點E為CD的中點，
∵EF∥AD，
∴FH為△ABP的中位線，
∴AH=HP．
∵DH⊥AP，
∴△DAP為等腰三角形，
∴AD=DP．
設(shè)BP=a，則CP=4-a，
由勾股定理得：DP²=CD²+CP²，即16=8+（4-a）²，
解得：a=4-2$\sqrt{2}$，或a=-4-2$\sqrt{2}$（舍去）；
②當(dāng)DH=DC時，如圖2所示．
∵DC=AB=2$\sqrt{2}$，
∴DH=2$\sqrt{2}$．
在Rt△AHD中，AD=4，DH=2$\sqrt{2}$，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AH=DH，
∴∠DAH=∠ADH=45°．
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAH=45°，
∵∠B=90°，
∴△ABP為等腰直角三角形，
∴BP=AB=2$\sqrt{2}$；
③當(dāng)CH=CD時，過點C作CE⊥DH于點E，延長CE交AD于點F，如圖3所示．
∵CH=CD，CE⊥DH，
∴DE=HE=$\frac{1}{2}$DH．
∵DH⊥CF，DH⊥AP，
∴CF∥AP，
∵AF∥CP，
∴四邊形AFCP為平行四邊形，
∴AF=CP．
∵EF∥AH，DE=HE，
∴DF=AF=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴BP=BC-CP=BC-AF=4-2=2．
綜上所述：BP的長度為4-2$\sqrt{2}$、2$\sqrt{2}$或2．
故答案為：4-2$\sqrt{2}$、2$\sqrt{2}$或2．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是分HD=HC、DH=DC以及CH=CD三種情況考慮，解決該題型題目時，注意思考的全面性是重中之重．