Question

已知，如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，割線PD交⊙O于點(diǎn)C、D，∠P=45°，弦AB⊥PD，垂足為E，且BE=2CE，DE=6，CF⊥PC，交DA的延長線于點(diǎn)F．求tan∠CFE的值．

Answer 1

分析：求tan∠CFE的值就要找垂直關(guān)系，用邊表示出來，轉(zhuǎn)化為求邊長的問題，由已知條件CF⊥PC，可以推出tan∠CFE=

CE

FC

，再利用圓的性質(zhì)和切線的性質(zhì)求出CE和FC兩邊的長度即可．

解答：解：由相交弦定理，得AE•BE=DE•CE
又∵BE=2CE
∴AE•2CE=6CE
∴AE=3
∵AB⊥PD
∴∠AEP=90°
又∵∠P=45°
∴∠EAP=∠P=45°
∴PE=AE=3
在Rt△AEP中，由勾股定理，得：
PA=

AE2+PE2

=

32+32

=3

2

∵PA切⊙O于點(diǎn)A
∴PA²=PC•PD
∴PC=

PA2

PO

=

(3 2 )2

3+6

=2
∴CE=PE-PC=3-2=1
∵FC⊥PD∴∠FCE=90°
又∵∠AED=90°
∴∠AED=∠FCE
∴AE∥FC
∴

DE

DC

=

AE

FC

∴FC=

DC•AE

DE

=

(6+1)×3

6

=

7

2

∴tan∠CFE=

CE

FC

=

1

7 2

=

2

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查知識(shí)點(diǎn)較多，有圓的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相交弦定理，勾股定理及切割線定理，是一道綜合性較強(qiáng)的題，同時(shí)也用到轉(zhuǎn)化思想，把求tan∠CFE的問題轉(zhuǎn)化為求邊長的問題．