Question

（2012•洪山區(qū)模擬）已知Rt△ABC中，直角邊AC=3，BC=4，P、Q分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不與A、B重合．點(diǎn)Q不與B、C重合．
（1）若CP⊥AB于點(diǎn)P，如圖1，△CPQ為等腰三角形，這時(shí)滿足條件的點(diǎn)Q有幾個(gè)？直接寫出相等的腰和相應(yīng)的CQ的長(zhǎng)（不寫解答過(guò)程）
（2）當(dāng)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，若△CPQ與△ABC相似，這時(shí)滿足條件的點(diǎn)Q有幾個(gè)？分別求出相應(yīng)的CQ的長(zhǎng)？
（3）當(dāng)CQ的長(zhǎng)取不同的值時(shí)，除PQ垂直于BC的△CPQ外，其余的△CPQ是否可能為直角三角形？若可能，請(qǐng)說(shuō)明所有情況？若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)CP為等腰三角形的底邊時(shí)作CP的垂直平分線，交BC于Q，則△CPQ為等腰三角形；當(dāng)CP為腰時(shí)，在BC上截取CQ=CP即可，所以這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，分別求出即可；
（2）根據(jù)題意畫出符合條件的三角形即可求出Q的位置，進(jìn)而求出出相應(yīng)的CQ的長(zhǎng)；
（3）過(guò)Q作QP⊥BC，交AB于P點(diǎn)，連接CP，則△CPQ為直角三角形，作∠CAB的平分線AO，交BC于O點(diǎn)．作OP₁⊥AB于P₁點(diǎn)．設(shè)CO=t，則OP₁=t，CD=2t，OB=4-t．先根據(jù)相似三角形△ABC∽△OBP₁的性質(zhì)求得t值，即得到線段CD的長(zhǎng)度，再分情況討論．①Q(mào)與點(diǎn)D重合時(shí)，以CQ為直徑的圓與AB相切，②Q點(diǎn)在線段CD上時(shí)（不與C、D重合），0＜CQ＜3，以CQ為直徑的圓與AB相離，③Q點(diǎn)在DB上時(shí)（不與D、B重合），3＜CQ＜4，以CQ為直徑的圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)P₂、P₃．

解答：解：（1）當(dāng)CP為等腰三角形的底邊時(shí)作CP的垂直平分線，交BC于Q，
則腰是CQ=PQ；
此時(shí)CQ=

1

2

BC=1.5；
當(dāng)CP為腰時(shí)，在BC上截取CQ=CP，
則腰是CP=CQ′，
此時(shí)CQ=CP=

AC•BC

AB

=2.4；
（2）當(dāng)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，若△CPQ與△ABC相似，這時(shí)滿足條件的點(diǎn)Q有3個(gè)，
①當(dāng)△COQ∽△BCA，時(shí)，
∴

CQ

BC

=

BP

AB

=

1

2

，
∴CQ=

1

2

BC=2；
②△PQ′B∽△CAB時(shí)，
∴

BP

BC

=

BQ′

AB

，
∵AP=BP=

1

2

AB=2.5，BC=4，
∴

2.5

4

=

BQ′

5

，
∴BQ′=

25

8

，
∴CQ′=4-

25

8

=

7

8

；
③△CPQ″∽△BCA時(shí)，
∴

CQ″

AB

=

CP

BC

，
∴

CQ″

5

=

2.5

4

，
∴CQ″=

25

8

；
（3）可能．
過(guò)Q作QP⊥BC，交AB于P點(diǎn)，連接CP，則△CPQ為直角三角形，作∠CAB的平分線AO，交BC于O點(diǎn)．作OP₁⊥AB于P₁點(diǎn)．
∴CO=OP₁以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O，⊙O與AB相切，切點(diǎn)為P₁，與CB的交點(diǎn)為D．
設(shè)CO=t，則OP₁=t，CD=2t，OB=4-t．
由△ABC∽△OBP₁，得

OP 1

AC

=

OB

AB

，
∴

t

3

=

4-t

5

，
解得：t=1.5，
∴CD=3，
∴當(dāng)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，以CQ為直徑的圓與AB相切，切點(diǎn)為P₁，連CP₁、P₁Q，△CP₁Q為直角三角形，此時(shí)共有兩個(gè)直角三角形，
當(dāng)Q點(diǎn)在線段CD上時(shí)（不與C、D重合），0＜CQ＜3，CQ為直徑的圓與AB相離，此時(shí)只有一個(gè)直角三角形CQP．（9分）
當(dāng)Q點(diǎn)在DB上時(shí)（不與D、B重合），3＜CQ＜4，以CQ為直徑的圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)P₂、P₃．分別連接P₂、P₃與點(diǎn)C和Q，得直角三角形CQP₂和CQP₃，此時(shí)有三個(gè)直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定，此類題目還是相似與圓的知識(shí)的綜合運(yùn)用，難點(diǎn)在第（3）題，解決的根據(jù)是三角形相似的性質(zhì)和直線和圓的三種位置關(guān)系．