Question

如圖，點(diǎn)A是BC上一點(diǎn)，△ABD、△ACE都是等邊三角形．
試說明：
（1）AM=AN；
（2）MN∥BC；
（3）∠DOM=60°．

Answer 1

證明：（1）∵△ABD、△ACE都是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴180°-∠CAE=180°-∠BAD，
即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，
∵，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠DAN=180°-∠BAD-∠CAE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM和△ADN中，
∵，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM=AN；

（2）∵∠MAN=180°-60°×2=60°，AM=AN，
∴△AMN是等邊三角形，
∴∠AMN=60°，
∴∠AMN=∠BAD，
∴MN∥BC；

（3）在△ABM中，∠AMB=180°-∠BAM-∠BAD，
在△DMO中，∠DMO=180°-∠DAN-∠DOM，
∵∠BAM=∠DAN（已證），∠AMB=∠DMO（對(duì)頂角相等），
∴∠DOM=∠BAD=60°．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠BAE=∠DAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABE=∠ADC，再利用“角邊角”證明△ABM和△ADN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）證明△AMN是等邊三角形，然后求出∠AMN=60°，從而得到∠AMN=∠BAD，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明即可；
（3）利用三角形的內(nèi)角和定理表示出∠AMB和∠DMO，再根據(jù)對(duì)頂角相等可以求出∠DOM=∠BAD，從而得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，二次證明三角形全等得到△ABM和△ADN全等是證明本題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．