Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形OACB的邊OA，OB分別在x軸上和y軸上，線(xiàn)段OA，OB的長(zhǎng)分別是一元二次方程x²-18x+72=0的兩個(gè)根，且OA＞OB；點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA邊勻速移動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO邊勻速移動(dòng)．如果點(diǎn)P，點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的速度相同，設(shè)OP=x（0≤x≤6），設(shè)△POM的面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）連接矩形的對(duì)角線(xiàn)AB，當(dāng)x為何值時(shí)，以P，O，M為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似；
（3）當(dāng)△POM的面積最大時(shí)，將△POM沿PM所在直線(xiàn)翻折后得到△PDM，試判斷D點(diǎn)是否在矩形的對(duì)角線(xiàn)AB上，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）解二次方程x²-18x+72=0得，x₁=6，x₂=12，根據(jù)題意知，OA=12，OB=6．
S_△POM=

1

2

×OM×OP=

1

2

×（6-x）•x=-

1

2

x²+3x，
即y=-

1

2

x²+3x．

（2）主要考慮有兩種情況，一種是△MOP∽△BOA，
那么有

OP

OA

=

OM

OB

，即，

x

12

=

6-x

6

，解得，x=4；
一種是△POM∽△BOA，
那么有

OP

OB

=

OM

OA

，即，

x

6

=

6-x

12

，解得，x=2，
所以當(dāng)x=2或x=4時(shí)，以P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似．

（3）由（1）得，y=-

1

2

x²+3x，可以知道，當(dāng)x=-

b

2a

=3時(shí)，y有最大值．
即OP=3，
∵OP=3，
∴OM=6-x=3，
∴△MOP是等腰直角三角形．根據(jù)題意，
以對(duì)角線(xiàn)MP為對(duì)稱(chēng)軸得到△MDP與△MOP全等，且四邊形MOPD是正方形，
所以DM=3，MD∥OA，
若D在對(duì)角線(xiàn)AB上，必須有

BM

OB

=

DM

OA

，
即，DM=

BM

OB

×OA=

3

6

×12=6，
∵DM=6≠3，
∴點(diǎn)D不在對(duì)角線(xiàn)AB上．