Question

2．如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與BC、AC分別交于D，G，過D的切線垂直AC于E，與AB的延長線交于F．
（1）求證：AB=AC；
（2）若∠A=45°，求DE與DF數(shù)量關(guān)系；
（3）若AB=5，BC=6，求tan∠F值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖1，由切線的性質(zhì)得OD⊥EF，加上EF⊥AC，則可判斷OD∥AC，所以∠1=∠C，由于∠1=∠2，則∠C=∠B，于是根據(jù)等腰三角形的判定即可得到結(jié)論；
（2）作OH⊥AC于H，如圖1設(shè)⊙O的半徑為r，證明△AOH為等腰直角三角形得到OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，易得四邊形OHED為矩形，則DE=OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，再證明△ODF為等腰直角三角形得到DF=OD=r，所以DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF；
（3）作OH⊥AC于H，連結(jié)AD，如圖2，先利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，再計算出AD=4，接著證明△CED∽△CDA，利用相似比計算出DE=$\frac{12}{5}$，CE=$\frac{9}{5}$，則AH=$\frac{7}{10}$，然后在Rt△AOH中，利用正切定義得tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{7}{24}$，再證明∠F=∠AOH，從而得到tan∠F=$\frac{7}{24}$．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖1，
EF為切線，
∴OD⊥EF，
∵EF⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠1=∠C，
∵OB=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC；
（2）解：作OH⊥AC于H，如圖1，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵∠A=45°，
∴△AOH為等腰直角三角形，
∴OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
易得四邊形OHED為矩形，
∴DE=OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r
∵∠F=90°-∠A=45°，
∴△ODF為等腰直角三角形，
∴DF=OD=r，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF；
（3）解：作OH⊥AC于H，連結(jié)AD，如圖2，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
而AB=AC=5，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ADB中，AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵∠ECD=∠DCA，
∴△CED∽△CDA，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$，即$\frac{DE}{4}$=$\frac{CE}{3}$=$\frac{3}{5}$，
∴DE=$\frac{12}{5}$，CE=$\frac{9}{5}$，
而OH=DE=$\frac{12}{5}$，EH=OD=$\frac{5}{2}$，
∴AH=5-$\frac{9}{5}$-$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{10}$，
在Rt△AOH中，tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{\frac{7}{10}}{\frac{12}{5}}$=$\frac{7}{24}$，
∵OH∥EF，
∴∠F=∠AOH，
∴tan∠F=$\frac{7}{24}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了等腰三角形的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)．