Question

已知：直線y=2x+6與x軸和y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)，且S_△ABP：S_△BPC=1：3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）直線y=

1

2

x+a與（1）中所求的拋物線交于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線的解析式求出A、C的坐標(biāo)，然后將A、C的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式，進(jìn)而可根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比，因此兩三角形的面積比實(shí)際是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的長(zhǎng)，然后分情況討論：
①當(dāng)P在線段AC上時(shí)，AP+PC=AC，3AP=PC，據(jù)此可求出AP的長(zhǎng)，然后根據(jù)∠CAB的三角函數(shù)值或通過(guò)構(gòu)建相似三角形可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)P在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，CP-AP=AC，3AP=PC，據(jù)此可求出AP的長(zhǎng)，后面同①．
（3）可聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，求出M、N的坐標(biāo)，過(guò)M、N作x軸的垂線設(shè)垂足為M′、N′，由于∠MON=90°，因此可得出△MM′O與△N′N(xiāo)O相似，可得出M、N兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的絕對(duì)值對(duì)應(yīng)成比例，據(jù)此可求出a的值．（也可用坐標(biāo)系的兩點(diǎn)間的距離公式，根據(jù)勾股定理來(lái)求解．）

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=6，
∴C（0，6），
當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，
∴A（-3，0），
∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，
∴

-9-3b+c=0 c=6

，
解得：

b=-1 c=6

．
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+6，
當(dāng)y=0時(shí)，整理得x²+x-6=0，
解得：x₁=2，x₂=-3，
∴點(diǎn)B（2，0）．

（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，
∵S_△ABP：S_△BPC=1：3，
∴

1 2 AP•BD

1 2 PC•BD

=

1

3

，
∴AP：PC=1：3
由勾股定理，得AC=

AO2+CO2

=3

5

當(dāng)點(diǎn)P為線段AC上一點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，點(diǎn)H為垂足，
∴

PH

OC

=

AP

AC

=

1

4

∴PH=

3

2

，
∴

3

2

=2x+6，
∴x=-

9

4

，
∴點(diǎn)P（-

9

4

，

3

2

）
當(dāng)點(diǎn)P在CA延長(zhǎng)線時(shí)，作PG⊥x軸，點(diǎn)G為垂足
∵AP：PC=1：3
∴AP：AC=1：2，
∴

PG

OC

=

AP

AC

=

1

2

，
∴PG=3，
∴-3=2x+6
x=-

9

2

，
∴點(diǎn)P（-

9

2

，-3）．

（3）存在a的值，使得∠MON=90°，
設(shè)直線y=

1

2

x+a與拋物線y=-x²-x+6的交點(diǎn)為M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左側(cè)）
則

x1=xM y1=yN

x2=xN y2=yN

為方程組

y= 1 2 x+a y=-x2-x+6

的解
分別過(guò)點(diǎn)M、N作MM’⊥x軸，NN′⊥x軸，點(diǎn)M、N為垂足．
∴M′（x_M，0），N′（x_N，0），
∴OM′=-x_MON′=x_N
∵∠MON=90°，
∴∠MOM′+∠NON′=90°，
∵∠M′MO+∠MOM′=90°，
∴∠M’MO=∠NON’
∴Rt△MM′O∽R(shí)t△ON′N(xiāo)，
∴

MM′

ON′

=

OM′

NN′

，
∴MM′•NN′=ON′•OM′，
∴-x_M•x_N=y_M•y_N，
由方程組消去y整理，得：x²+

3

2

x+a-6=0．
∴x_M、x_N是方程x²+

3

2

x+a-6=0的兩個(gè)根，
由根與系數(shù)關(guān)系得，x_M+x_N=-

3

2

，x_M•x_N=a-6
又∵y_M•y_N=（

1

2

x_M+a）（

1

2

x_N+a）=

1

4

x_M•x_N+

a

2

（x_M+x_N）+a²=

1

4

（a-6）-

3

4

a+a²
∴-（a-6）=

1

4

（a-6）-

3

4

a+a²，
整理，得2a²+a-15=0
解得a₁=-3，a₂=

5

2

∴存在a值，使得∠MON=90°，其值為a=-3或a=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形面積的計(jì)算方法、三角形相似、函數(shù)圖象交點(diǎn)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．