Question

（1）如圖1，△ABC和△ADE均為頂角為α的等腰三角形，連接BD、CE，BD與CE、AC分別交于點O、點P．通過觀察或測量，猜想：
①線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系為______．
②BD和CE之間的夾角∠BOC=______．
（2）現(xiàn)將圖1中的△ADE繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)一個角度，得到圖2，BD的延長線與CE的延長線交于點O，與AC交于點P，問（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，予以證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

解：（1）①相等；②α．
證明：∵△ABC和△ADE均為頂角為α的等腰三角形，
∴∠BAD=α+∠CAD，∠CAE=α+∠CAD，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠OBC+∠ACB=∠ACE+∠OBC+∠ACB=∠OBC+∠OCB=180°-α，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=α；

（2）成立．
證明：∵△ABC和△ADE均為頂角為α的等腰三角形，
∴∠BAD=α-∠CAD，∠CAE=α-∠CAD，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠OBC+∠ACB=∠ACE+∠OBC+∠ACB=∠OBC+∠OCB=180°-α，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=α．
分析：（1）由△ABC和△ADE均為頂角為α的等腰三角形，易證得∠BAD=∠CAE，又由AB=AC，AD=AE，根據(jù)SAS即可證得△BAD≌△CAE，即可證得BD=CE，∠ABD=∠ACE，繼而可證得∠BOC=α；
（2）方法同（1），首先利用SAS證得△BAD≌△CAE，由全等三角形的性質(zhì)，即可證得結(jié)論正確．
點評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．