Question

已知：在△ABC中，∠ABC=45°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，∠ADB=120°且CD=2BD，將△ADC沿著AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處．
（1）求證：BE⊥BC；
（2）求∠C的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）,角平分線的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）取DE的中點(diǎn)M，連接BM，如圖1，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義由∠ADB=120°得∠ADC=60°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得DE=DC，∠ADE=∠ADC=60°，則∠BDE=60°，由于CD=2BD，則DE=2BD，DM=DB，原式可判斷△BDM為等邊三角形，得到EM=BM=MD，根據(jù)圓周角定理的推理得到△BDE為直角三角形，即BE⊥BC；
（2）作AF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BE于H，如圖2，由∠ABC=45°，可判斷四邊形AFBH為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AF=AH，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)由DA平分∠EDC得到AF=AG，則可根據(jù)“HL”證明Rt△AHE≌Rt△AGE，Rt△ADG≌Rt△ADF，得到∠3=∠2，∠DAG=∠4，所以∠2+∠DAG=

1

2

∠FAH=45°，即∠DAE=45°，然后利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠1=75°，最后利用折疊的性質(zhì)得到∠C=∠1=75°．

解答：解：（1）取DE的中點(diǎn)M，連接BM，如圖1，
∵∠ADB=120°，
∴∠ADC=60°，
∵△ADC沿著AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC=60°，
∴∠BDE=60°，
∵CD=2BD，
∴DE=2BD，
∴DM=DB，
∴△BDM為等邊三角形，
∴BM=DM，
即EM=BM=MD，
∴△BDE為直角三角形，
∴BE⊥BC；
（2）作AF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BE于H，如圖2，
則四邊形AFBH為矩形，
∵∠ABC=45°，
∴四邊形AFBH為正方形，
∴AF=AH，
∵∠ADC=∠ADE，即DA平分∠EDC，
∴AF=AG，
在Rt△AHE和Rt△AGE中

AH=AG AE=AE

，
∴Rt△AHE≌Rt△AGE（HL），
∴∠3=∠2，
同理可得Rt△ADG≌Rt△ADF，
∴∠DAG=∠4，
∴∠2+∠DAG=

1

2

∠FAH=45°，即∠DAE=45°，
∴∠1=180°-∠DAE-∠ADE=75°，
∵△ADC沿著AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，
∴∠C=∠1=75°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形的判定方法．