Question

如圖1，拋物線y=ax²+4x+b經過點A（1，0），B（3，0），與y軸交于點C；
（1）求拋物線的解析式；
（2）將△OAC沿AC翻折得到△ACE，直線AE交拋物線于點P，求點P的坐標；
（3）如圖2，點M為直線BC上一點（不與B、C重合），在拋物線上是否存在這樣的點N，使三點O，M，N構成以O為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線y=ax²+4x+b經過A（1，0），B（3，0）兩點，利用待定系數法即可求出二次函數解析式；
（2）點P為直線AE和拋物線的交點，欲求點P，必須先求出直線AE的解析式．設直線AE與y軸的交點為F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根據相似三角形的對應邊成比例即可得到FE=3OF，設OF=x，則EF=3x，AF=3x-1，進而可在Rt△FOA中求出x的值，也就能求出F點的坐標，然后利用待定系數法求出直線AE的解析式，與拋物線的解析式聯立即可得到點P的坐標；
（3）設M（n，n-3），過M作MG⊥x軸于G，過N作NH⊥x軸于H．分三種情況討論：①當點M在第一象限時，因為△OMN是等腰直角三角形，即可證得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N點的坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求得點M、N的坐標；②當點M在第三象限時，解法同①；③當點M在第四象限時，解法同①．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+4x+b經過點A（1，0），B（3，0），
∴

a+4+b=0 9a+12+b=0

，
解得：

a=-1 b=-3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x-3；

（2）如圖，設AE交y軸于點F．
∵將△OAC沿AC翻折得到△ACE，
∴∠FOA=∠FEC=90°，CE=CO=3，AE=AO=1．
∵∠OFA=∠EFC，∠FOA=∠FEC=90°，
∴△FOA∽△FEC，
∴

OF

EF

=

OA

CE

=

1

3

，
設OF=x，則EF=3x，FA=EF-AE=3x-1．
在Rt△FOA中，由勾股定理得：
FA²=OF²+AO²，
即（3x-1）²=x²+1，
解得x=

3

4

，
即OF=

3

4

，F（0，

3

4

）．
設直線AE的解析式為y=kx+m，將A（1，0），F（0，

3

4

）代入，得

k+m=0 m= 3 4

，解得

k=- 3 4 m= 3 4

．
則直線AE的解析式為y=-

3

4

x+

3

4

．
解方程組

y=-x2+4x-3 y=- 3 4 x+ 3 4

，
解得

x= 15 4 y=- 33 16

或

x=1 y=0

．
故點P的坐標為（

15

4

，-

33

16

）；

（3）在拋物線上存在點N（2，1）或（5，-8），能使三點O，M，N構成以O為直角頂點的等腰直角三角形．理由如下：
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC的解析式為：y=x-3；
過M作MG⊥x軸于G，過N作NH⊥x軸于H．設點M（n，n-3），分三種情況：
①當點M在第一象限時，如圖，則OG=n，MG=n-3；
∵點O，M，N構成以O為直角頂點的等腰直角三角形，
∴∠MON=90°，OM=ON，
則可證得△MOG≌△ONH，得：
OG=NH=n，MG=OH=n-3，
∴N（n-3，-n），
將其代入拋物線的解析式中，得：
-（n-3）²+4（n-3）-3=-n，
整理得：n²-11n+24=0，
解得n=8，n=3（舍去）；
故M（8，5），N（5，-8）；
②當點M在第三象限時，OG=-n，MG=3-n；
同①可得：MG=OH=3-n，OG=NH=-n，
則N（3-n，n），代入拋物線的解析式可得：
-（3-n）²+4（3-n）-3=n，
整理得：n²-n=0，故n=0或=1．
由于點M在第三象限，
所以n＜0，
故n=0或n=1均不合題意，此種情況不成立；
③當點M在第四象限時，如圖，則OG=n，MG=3-n；
同①得：N（3-n，n），在②中已經求得此時n=0（舍去），n=1；
故M（1，-2），N（2，1）；
綜上可知：存在符合條件的N點，且坐標為N（2，1）或（5，-8）．

點評：此題主要考查了待定系數法求函數的解析式，函數圖象交點坐標的求法，勾股定理，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定與性質，二次函數的綜合應用等知識，綜合性較強，有一定難度．需要注意的是第（3）題中，由于點M的位置不確定，一定要根據點M所處的不同象限分類討論，以免漏解．