Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B（0，）．直線y=kx過點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是D．
（1）求拋物線y=x²+bx+c與直線y=kx的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線AD上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），過點(diǎn)P作 y軸的平行線，交直線AD于點(diǎn)M，作DE⊥y軸于點(diǎn)E．探究：是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)△PMN的周長為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值．

Answer 1

解：（1）∵y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和B（0，）
∴由此得 ，
解得．
∴拋物線的解析式是y=x²-x+，
∵直線y=kx-經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）
∴2k-=0，
解得：k=，
∴直線的解析式是 y=x-，

（2）設(shè)P的坐標(biāo)是（x，x²-x+），則M的坐標(biāo)是（x，x-）
∴PM=（x²-x+）-（x-）=-x2-x+4，
解方程 得：，，
∵點(diǎn)D在第三象限，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-8，-7），由y=x-得點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-），
∴CE=--（-7）=6，
由于PM∥y軸，要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM=CE，即-x²-x+4=6
解這個(gè)方程得：x₁=-2，x₂=-4，
符合-8＜x＜2，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-×（-2）²-×（-2）+=3，
當(dāng)x=-4時(shí)，y=-×（-4）²-×（-4）+=，
因此，直線AD上方的拋物線上存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PMEC是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-2，3）和（-4，）；

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=
∴△CDE的周長是24，
∵PM∥y軸，
∵∠PMN=∠DCE，
∵∠PNM=∠DEC，
∴△PMN∽△CDE，
∴=，即=，
化簡整理得：l與x的函數(shù)關(guān)系式是：l=-x²-x+，
l=-x²-x+=-（x+3）²+15，
∵-＜0，
∴l(xiāng)有最大值，
當(dāng)x=-3時(shí)，l的最大值是15．
分析：（1）將A，B兩點(diǎn)分別代入y=x²+bx+c進(jìn)而求出解析式即可；
（2）首先假設(shè)出P，M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出PM的長，將兩函數(shù)聯(lián)立得出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出CE的長，利用平行四邊形的性質(zhì)得出PM=CE，得出等式方程求出即可；
（3）利用勾股定理得出DC的長，進(jìn)而根據(jù)△PMN∽△CDE，得出兩三角形周長之比，求出l與x的函數(shù)關(guān)系，再利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的最值求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和函數(shù)交點(diǎn)求法以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出PM=CE進(jìn)而得出等式是解題關(guān)鍵．