Question

某課外興趣小組在一次折紙活動中，折疊一張帶有條格的長方形紙片ABCD（如圖1），將點B分別與點A，A₁，A₂，…，D重合，然后用筆分別描出每條折痕與對應條格所在直線的交點，用平滑的曲線順次連接各交點，得到一條曲線．
探索
如圖2，在平面直角坐標系xOy中，將長方形紙片ABCD的頂點B與原點O重合，BC邊放在x軸的正半軸上，AB=m，AD=n（m≤n），將紙片折疊，MN是折痕，使點B落在邊AD上的E處，過點E作EQ⊥BC，垂足為Q，交直線MN于點P，連接OP
（1）求證：四邊形OMEP是菱形；
（2）設點P坐標為（x，y），求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．（用含m、n的式子表示）
運用
（3）將長方形紙片ABCD如圖3所示放置，AB=8，AD=12，將紙片折疊，當點B與點D重合時，折痕與DC的延長線交于點F．試問在這條折疊曲線上是否存在K，使得△KCF的面積是△KOC面積的，若存在，寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB∥EQ，
∴∠OMP=∠EPM，
∵∠EPM=∠OPM，
∴∠OMP=∠OPM，
∴OM=OP，
∵OM=EM，OP=EP，
∴四邊形OMEP是菱形．

（2）∵E點的坐標為（x，m），
OP=EP=m-y，
∴（m-y）²=x²+y²．
y=-+（0＜x＜）．

（3）根據（2）知，點K的坐標為（x，-+4）．
設EC的長為x，DE=BE=12-x，DC=8，
x²+8²=（12-x）²
x=．
同理：GH=，DH=，
△ECF∽△DHF，
∴=，
即=，
解得CF=5，
∴△ECF的面積為：CE•CF=××5=．
△OCK的面積為：×12（-+4）．
△KCF的面積：×（-+4）+．
根據△KCF的面積是△KOC面積得，××12（-+4）=×（-+4）+，
可求出x=4，
所以K的坐標為：（4，1）．
分析：（1）如果四邊形的四邊相等，那么這個四邊形是菱形．
（2）根據P點的坐標，可表示出E點的坐標，從而可知道OP的長，用勾股定理表示出解析式．
（3）畫出圖形，從圖上可看出不存在．
點評：本題考查了菱形的判定定理，矩形的性質，相似三角形的性質，相似三角形的面積比等于相似比的平方以及翻折變換的知識．