Question

如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)A、C在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點(diǎn)D，以P（1，0）為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)B、D．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用m表示）；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，試證明：FC（AC+EC）為定值．

Answer 1

分析：（1）AO=AC-OC=m-3，用線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m-3），又P（1，0）為拋物線頂點(diǎn)，可設(shè)頂點(diǎn)式，求解析式；
（3）設(shè)Q（x，x²-2x+1），過Q點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線，運(yùn)用相似比求出FC、EC的長(zhǎng)，而AC=m，代入即可．

解答：（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=BC=m，OA=m-3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3-m，0）．

（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m-3，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，m-3）．
又拋物線頂點(diǎn)為P（1，0），且過點(diǎn)B、D，
所以可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，
得：

a(3-1)2=m a(0-1)2=m-3

解得

a=1 m=4

∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1；

（3）證明：過點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，x²-2x+1），
則QM=CN=（x-1）²，MC=QN=3-x．
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
∴

QM

EC

=

PM

PC

即

(x-1)2

EC

=

x-1

2

，得EC=2（x-1）
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC
∴

QN

FC

=

BN

BC

即

3-x

FC

=

4-(x-1)2

4

，得FC=

4

x+1

又∵AC=4
∴FC（AC+EC）=

4

x+1

[4+2（x-1）]=

4

x+1

（2x+2）=

4

x+1

×2×（x+1）=8
即FC（AC+EC）為定值8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線解析式的求法，綜合運(yùn)用相似三角形的比求線段的長(zhǎng)度，本題也可以先求直線PE、BF的解析式，利用解析式求FC，EC的長(zhǎng)．