Question

（2001•黃岡）先閱讀下列第（1）題的解答過(guò)程：
（1）已知a，β是方程x²+2x-7=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a²+3β²+4β的值．
解法1：∵a，β是方程x²+2x-7=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a²+2a-7=0，β²+2β-7=0，且a+β=-2．
∴a²=7-2a，β²=7-2β．
∴a²+3β²+4β=7-2a+3（7-2β）+4β=28-2（a+β）=28-2×（-2）=32．
解法2：由求根公式得a=1+2

2

，β=-1-2

2

．
∴a²+3β²+4β=（-1+2

2

）²+3（-1-2

2

）²+4（-1-2

2

）
=9-4

2

+3（9+4

2

）-4-8

2

=32．
當(dāng)a=-1-2

2

，β=-1+2

2

時(shí)，同理可得a²+3β²+4β=32．
解法3：由已知得a+β=-2，aβ=-7．
∴a²+β²=（a+β）²-2aβ=18．
令a²+3β²+4β=A，β²+3a²+4a=B．
∴A+B=4（a²+β²）+4（a+β）=4×18+4×（-2）=64．①
A-B=2（β²-a²）+4（β-a）=2（β+a）（β-a）+4（β-a）=0．②
①+②，得2A=64，∴A=32．
請(qǐng)仿照上面的解法中的一種或自己另外尋注一種方法解答下面的問(wèn)題：
（2）已知x₁，x₂是方程x²-x-9=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式x₁³+7x₂²+3x₂-66的值．

Answer 1

分析：首先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到

x

2 1

=x₁+9，

x

2 2

=x₂+9，然后將原式變形為x₁（x₁+9）+7（x₂+9）+3x₂-66，整理后代入即可求值．

解答：解∵x₁，x₂是方程x²-x-9=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=1，

x

2 1

-x₁-9=0，

x

2 2

-x₂-9=0，
即

x

2 1

=x₁+9，

x

2 2

=x₂+9．
∴

x

3 1

+7

x

2 2

+3x₂-66
=x₁（x₁+9）+7（x₂+9）+3x₂-66
=

x

2 1

+9x₁+10x₂-3
=x₁+9+9x₁+10x₂-3
=10（x₁+x₂）+6
=16．?

點(diǎn)評(píng)：本題是一道閱讀理解題，考查一元二次方程根的不對(duì)稱式值的求解．解法1應(yīng)用一元二次方程根的定義，根與系數(shù)的關(guān)系和逐步降次的方法求解；解法2應(yīng)用求根公式法求出方程的解，再直接代入待求式求值；解法3通過(guò)構(gòu)造與待求式對(duì)稱的對(duì)偶式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解，求不對(duì)稱式的值源自于中學(xué)競(jìng)賽內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)略高于中考要求，故題中提供了可借鑒的三種解法，不僅降低了問(wèn)題難度，而且側(cè)重考查了自學(xué)能力，吻合了素質(zhì)教育對(duì)學(xué)生自學(xué)能力培養(yǎng)的要求．解答這類題，透徹理解閱讀材料，并靈活選用合理方法加以運(yùn)用是前提．第（2）問(wèn)題選用解法1的方法較為簡(jiǎn)便．