Question

如圖所示，在形狀和大小不確定的△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，P在EF或EF的延長線上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，設BP=y，PE=x．

（1）當x=EF時，求S_△DPE：S_△DBC的值；
（2）當CQ=CE時，求y與x之間的函數關系式；
（3）①當CQ=CE時，求y與x之間的函數關系式；
     ②當CQ=CE（n為不小于2的常數）時，直接寫出y與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據中位線定理、相似三角形的判定與性質可以求得S_△DPE：S_△DBC的值；
（2）（3）問的解答，采用一般到特殊的方法．解答中首先給出了一般性結論的證明，即當EQ=kCQ（k＞0）時，y與x滿足的函數關系式為：y=6k-x；然后將該關系式應用到第（2）（3）問中求解．在解題過程中，充分利用了相似三角形比例線段之間的關系．另外，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質得出了一個重要結論（（2）中①式子），該結論在解題過程中發(fā)揮了重要作用．
解答：解：（1）∵E、F分別是AB、AC的中點，x=EF，
∴EF∥BC，且EF=BC，
∴△EDP∽△CDB，
∴=，
∴S_△DPE：S_△DBC=1：36；

（2）延長BQ交EF于K，
∵EK∥BC，
∴∠EKB=∠KBC，
又∵BQ為∠CBP的平分線，
∴∠PBK=∠KBC，
∴∠EKB=∠PBK，
∴PB=PK．
∵CQ=CE，∴CQ=EQ，
易證△CQB≌△EQK，則BC=KE=6，
∴x+y=6，
∴y=6-x；

（3）當CQ=CE時，k=2，由（2）中④式可知，y與x之間的函數關系式為：y=12-x；
當CQ=CE（n為不小于2的常數）時，k=n-1，由（2）中④式可知，y與x之間的函數關系式為：y=6（n-1）-x．
點評：本題綜合考查了相似三角形線段之間的比例關系、三角形中位線定理和角平分線性質等重要知識點，難度較大．在解題過程中，涉及到數目較多的線段和較為復雜的運算，注意不要出錯．本題第（2）（3）問，采用了從一般到特殊的解題思想，簡化了解答過程；同學們亦可嘗試從特殊到一般的解題思路，即當CQ=CE時，CQ=CE時分別探究y與x的函數關系式，然后推廣到當CQ=CE（n為不小于2的常數）時的一般情況．