Question

15．已知：如圖，直線AB與x軸y軸分別交于A，B兩點，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)交于點C，BO=2AO=4，△AOC的面積為2$\sqrt{7}$+2．
（1）求點C的坐標(biāo)和k的值；
（2）若點P在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，點Q在y軸上，且以A，B，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求所有符合題意的點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先由BO=2AO=4得到A（-2，0），B（0，4），再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=2x+4，設(shè)C（t，2t+4），利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•2•（2t+4）=2$\sqrt{7}$+2，然后解方程求出t即可得到C點坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求k的值；
（2）分類討論：分AB為平行四邊形的邊和對角線討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用點平移的坐標(biāo)規(guī)律求出對應(yīng)的P點和Q點坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵BO=2AO=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
把A（-2，0），B（0，4）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=2x+4，
設(shè)C（t，2t+4）
∵△AOC的面積為2$\sqrt{7}$+2．
∴$\frac{1}{2}$•2•（2t+4）=2$\sqrt{7}$+2，解得t=$\sqrt{7}$-1，
∴C（$\sqrt{7}$-1，2$\sqrt{7}$+2），
把C（$\sqrt{7}$-1，2$\sqrt{7}$+2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=（$\sqrt{7}$-1）（2$\sqrt{7}$+2）=12；
（2）當(dāng)平行四邊形為AQPB時，把A點向右平移2個單位得到Q₁點，則B點向右平移2個單位得到P₁點，所以P₁（2，6），即B點向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到P₁點，所以A點向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點Q₁（0，2）；
當(dāng)平行四邊形為APQB時，則P₂（-2，-6），即點A向下平移6個單位得到點P₂，則B點向下平移6個單位得到點Q₂（0，-2）；
當(dāng)平行四邊形為APBQ時，則P₂（-2，-6），即點A向下平移6個單位得到點P₂，則B點向上平移6個單位得到點Q₃（0，10）；
綜上所述，滿足條件的Q點坐標(biāo)為（0，2）、（0，-2）、（0，10）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．