Question

（2012•晉江市質(zhì)檢）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)．當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí)，△DEF停止移動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)．DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問(wèn)題：
（1）填空：CQ=

t

，AQ=

8-t

（用含t的式子表示）；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在以AQ為直徑的⊙M上？
（3）當(dāng)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，如圖（3），求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出EC=QC，進(jìn)而得出AQ的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)相似三角形的判定得出△ABC∽△AQP，進(jìn)而表示出AP，AQ，利用相似三角形的性質(zhì)求出即可；
（3）首先證明△PAN∽△BAC，再得出△QCF∽△QNP，即可得出

PN

FC

=

NQ

CQ

，求出t的值即可．

解答：解：（1）∵∠QCE=90°，∠DEF=45°，
∴EC=CQ，
∴CQ=t，AQ=AC-QC=8-t，
故答案為：t，8-t；

（2）若點(diǎn)P在AQ為直徑的⊙M上，如圖2，則必須有∠APQ=90°，
由題意得出，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠ACB=90°，
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△AQP，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，
由題意得出：BP=2t，EC=t，
在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
由勾股定理得出：AB=

AC2+BC2

=10（cm），
∴AP=10-2t由（1）得：
AQ=8-t，
∴

10-2t

8

=

8-t

10

，
解得：t=3，
∴當(dāng)t=3s時(shí)，點(diǎn)P在以AQ為直徑的⊙M上，

（3）當(dāng)點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，如圖3，過(guò)P作PN⊥AC于點(diǎn)N，
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°，
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC，
∴

PN

BC

=

AP

AB

=

AN

AC

，
∴

PN

6

=

10-2t

10

=

AN

8

，
∴PN=6-

6

5

t，
AN=8-

8

5

t，
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-

8

5

t）=

3

5

t，
∵∠ACB=90°，
∵點(diǎn)B、C（E）、F三點(diǎn)在同一直線上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ，
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP，
∴

PN

FC

=

NQ

CQ

，
∴

6- 6 5 t

9-t

=

3 5 t

t

，
∵0＜t＜4.5，
∴

6- 6 5 t

9-t

=

3

5

，
解得：t=1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，正確利用相似三角形的性質(zhì)得出PN，AN的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．