Question

【題目】已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，點H為CD上任意一點（不與C、D重合），過點H作CD的垂線，交BD于點E，連接AE．

（1）如圖1，線段EH、CH、AE之間的數(shù)量關系是　 　；

（2）如圖2，將△DHE繞點D順時針旋轉，當點E、H、C在一條直線上時，求證：AE+EH=CH．

Answer 1

【答案】(1) EH2+CH2=AE2；(2)見解析.

【解析】分析：（1）如圖1，過E作EM⊥AD于M，由四邊形ABCD是菱形，得到AD=CD，∠ADE=∠CDE，通過△DME≌△DHE，根據(jù)全等三角形的性質得到EM=EH，DM=DH，等量代換得到AM=CH，根據(jù)勾股定理即可得到結論；
（2）如圖2，根據(jù)菱形的性質得到∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，在CH上截取HG，使HG=EH，推出△DEG是等邊三角形，由等邊三角形的性質得到∠EDG=60°，推出△DAE≌△DCG，根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論．

詳解：

（1）EH2+CH2=AE2，

如圖1，過E作EM⊥AD于M，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，

∵EH⊥CD，

∴∠DME=∠DHE=90°，

在△DME與△DHE中，

，

∴△DME≌△DHE，

∴EM=EH，DM=DH，

∴AM=CH，

在Rt△AME中，AE2=AM2+EM2，

∴AE2=EH2+CH2；

故答案為：EH2+CH2=AE2；

（2）如圖2，

∵菱形ABCD，∠ADC=60°，

∴∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，

∵EH⊥CD，

∴∠DEH=60°，

在CH上截取HG，使HG=EH，

∵DH⊥EG，∴ED=DG，

又∵∠DEG=60°，

∴△DEG是等邊三角形，

∴∠EDG=60°，

∵∠EDG=∠ADC=60°，

∴∠EDG﹣∠ADG=∠ADC﹣∠ADG，

∴∠ADE=∠CDG，

在△DAE與△DCG中，

，

∴△DAE≌△DCG，

∴AE=GC，

∵CH=CG+GH，

∴CH=AE+EH．