Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）.

①作出AD的依據(jù)是SAS；②∠ADC=60°

③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABD=1：2．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據(jù)作圖的過程可以判定作出AD的依據(jù)；

②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來求∠ADC的度數(shù)；

③利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上；

④利用30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計(jì)算公式來求兩個(gè)三角形的面積之比．

解：①根據(jù)作圖的過程可知，作出AD的依據(jù)是SSS；

故①錯(cuò)誤；

②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°．

又∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．

故②正確；

③∵∠1=∠B=30°，

∴AD=BD，

∴點(diǎn)D在AB的中垂線上．

故③正確；

④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，

∴AD=2CD，

∴BD=2CD，

∵S△DAC=ACCD，S△ABD=ACBD，

∴S△DAC：S△ABD=ACCD：ACBD =CD：BD=1：2，

即S△DAC：S△ABD=1：2．

故④正確．

綜上所述，正確的結(jié)論是：②③④，共有3個(gè)．

故選C．