【題目】觀察思考:如圖, 、是直線上的兩個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)、在直線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),,已知, 、間的距離為,連接、、,把沿折疊得.
()當(dāng)、兩點(diǎn)重合時(shí),則__________ .
()當(dāng)、兩點(diǎn)不重合時(shí),
①連接,探究與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
②若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,畫(huà)出示意圖并直接寫(xiě)出的長(zhǎng).
【答案】(1)4;
(2)①,理由見(jiàn)解析;②畫(huà)圖見(jiàn)解析, 的長(zhǎng)為或或.
【解析】試題分析:(1)當(dāng)A1、D兩點(diǎn)重合時(shí),可以證到四邊形ACDB是菱形,從而得到AC=AB=4cm;
(2)①過(guò)點(diǎn)A1作A1E⊥BC,垂足為E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC,垂足為F,如圖2,可以證到S△DBC=S△ABC=S△A1BC,從而得到DF=A1E,由A1E⊥BC,DF⊥BC可以證到A1E∥DF,從而得到四邊形A1DFE是平行四邊形,就可得到A1D∥BC;
②若以A1、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,則有三個(gè)位置,分別是圖3①、圖3②、圖3③.對(duì)于圖3①、圖3②,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB,垂足為H,運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)建立方程就可求出AH,然后運(yùn)用勾股定理就可求出AC的長(zhǎng);對(duì)于圖3③,直接運(yùn)用勾股定理就可求出AC的長(zhǎng).
試題解析:解:(1)當(dāng)A1、D兩點(diǎn)重合時(shí),如圖1①和圖1②.
∵CD∥AB,CD=AB,∴四邊形ACDB是平行四邊形.
∵△ABC沿BC折疊得△A1BC,A1、D兩點(diǎn)重合,∴AC=A1C=DC,∴平行四邊形ACDB是菱形,∴AC=AB=4(cm).故答案為:4.
(2)當(dāng)A1、D兩點(diǎn)不重合時(shí),①A1D∥BC.
證明:過(guò)點(diǎn)A1作A1E⊥BC,垂足為E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC,垂足為F,如圖2.
∵CD∥AB,CD=AB,∴四邊形ACDB是平行四邊形,∴S△ABC=S△DBC.
∵△ABC沿BC折疊得△A1BC,∴S△ABC=S△A1BC,∴S△DBC=S△A1BC,∴ BCDF=BCA1E,∴DF=A1E.
∵A1E⊥BC,DF⊥BC,∴∠A1EB=∠DFB=90°,∴A1E∥DF,∴四邊形A1DFE是平行四邊形,∴A1D∥EF,∴A1D∥BC.
②Ⅰ.如圖3①,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB,垂足為H,此時(shí)AH<BH.
∵四邊形A1DBC是矩形,∴∠A1CB=90°.
∵△ABC沿BC折疊得△A1BC,∴∠ACB=∠A1CB,∴∠ACB=90°.
∵CH⊥AB,∴∠AHC=∠CHB=90°,∴∠ACH=90°﹣∠HCB=∠CBH,∴△AHC∽△CHB,∴ ,∴CH2=AHBH.
∵AB=4,CH=,∴3=AH(4﹣AH).
解得:AH=1或AH=3.
∵AH<BH,∴AH=1,∴AC2=CH2+AH2=3+1=4,∴AC=2.
Ⅱ.如圖3②,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB,垂足為H,此時(shí)AH>BH.
同理可得:AH=3,∴AC2=CH2+AH2=3+9=12,∴AC=.
Ⅲ.如圖3③,∵四邊形A1DCB是矩形,∴∠A1BC=90°.∵△ABC沿BC折疊得△A1BC,∴∠ABC=∠A1BC,∴∠ABC=90°,∴AC2=BC2+AB2=3+16=19,∴AC=.
綜上所述;當(dāng)以A1、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí),AC的長(zhǎng)為2或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,DE是AC的垂直平分線.
(1)求證:△BCD是等腰三角形;
(2)△BCD的周長(zhǎng)是a,BC=b,求△ACD的周長(zhǎng)(用含a,b的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將豎直放置的長(zhǎng)方形磚塊ABCD推倒至長(zhǎng)方形A'B'C'D'的位置,長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)和寬分別為a,b,AC的長(zhǎng)為c.
(1)你能用只含a,b的代數(shù)式表示S△ABC,S△C'A'D'和S直角梯形A'D'BA嗎?能用只含c的代數(shù)式表示S△ACA'嗎?
(2)利用(1)的結(jié)論,你能驗(yàn)證勾股定理嗎?
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【題目】如圖,有一塊鐵皮,拱形邊緣呈拋物線狀,MN=4,拋物線頂點(diǎn)處到邊MN的距離是4,要在鐵皮上截下一矩形ABCD,使矩形頂點(diǎn)B、C落在邊MN上,A、D落在拋物線上.
(1)如圖建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求拋物線解析式;
(2)設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為L,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,0),求L與m的關(guān)系式(不要求寫(xiě)自變量取值范圍).
(3)問(wèn)這樣截下去的矩形鐵皮的周長(zhǎng)能否等于9.5,若不等于9.5,請(qǐng)說(shuō)明理由,若等于9.5,求出嗎的值?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩個(gè)盒子中裝有質(zhì)地、大小相同的小球,甲盒中有個(gè)白球、個(gè)藍(lán)球;乙盒中有個(gè)白球、若干個(gè)藍(lán)球,從乙盒中任意摸取一球?yàn)樗{(lán)球的概率是從甲盒中任意摸取一球?yàn)樗{(lán)球的概率的倍.
()求乙盒中藍(lán)球的個(gè)數(shù).
()從甲、乙兩盒中分別任意摸取一球,求這兩球均為藍(lán)球的概率.
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【題目】如圖,點(diǎn)B、F、C、E在直線l上(F、C之間不能直接測(cè)量),點(diǎn)A、D在l異側(cè),測(cè)得AB=DE,AB∥DE,∠A=∠D.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)若BE=10m,BF=3m,求FC的長(zhǎng)度.
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【題目】新農(nóng)村社區(qū)改造中,有一部分樓盤(pán)要對(duì)外銷售,某樓盤(pán)共23層,銷售價(jià)格如下:第八層樓房售價(jià)為4000元/米2,從第八層起每上升一層,每平方米的售價(jià)提高50元;反之,樓層每下降一層,每平方米的售價(jià)降低30元,已知該樓盤(pán)每套樓房面積均為120米2.
若購(gòu)買者一次性付清所有房款,開(kāi)發(fā)商有兩種優(yōu)惠方案:
方案一:降價(jià)8%,另外每套樓房贈(zèng)送a元裝修基金;
方案二:降價(jià)10%,沒(méi)有其他贈(zèng)送.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出售價(jià)y(元/米2)與樓層x(1≤x≤23,x取整數(shù))之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)老王要購(gòu)買第十六層的一套樓房,若他一次性付清購(gòu)房款,請(qǐng)幫他計(jì)算哪種優(yōu)惠方案更加合算.
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【題目】如圖,已知△ABC是邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng),它們的速度都是1 cm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),則(1)BP cm,BQ cm.(用含t的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△PBQ是直角三角形?
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【題目】在三角形的三個(gè)內(nèi)角中,最多有_________個(gè)直角,最多有_____________個(gè)鈍角.
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