Question

（2014•金山區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=

3

5

，把這個(gè)直角三角形繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到Rt△A′B′C，其中點(diǎn)B′正好落在AB上，A′B′與AC相交于點(diǎn)D，那么

B′D

CD

=

7

20

．

Answer 1

分析：作CH⊥AB于H，先在Rt△ABC中，根據(jù)余弦的定義得到cosB=

BC

AB

=

3

5

，設(shè)BC=3x，則AB=4x，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=4x，在Rt△HBC中，根據(jù)余弦的定義可計(jì)算出BH=

9

5

x，接著根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，所以根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)有B′H=BH=

9

5

x，則AB′=

7

5

x，然后證明△ADB′∽△A′DC，再利用相似比可計(jì)算出B′D與DC的比值．

解答：解：作CH⊥AB于H，如圖，
在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=

BC

AB

=

3

5

，設(shè)BC=3x，則AB=5x，
AC=

AB2-BC2

=4x，
在Rt△HBC中，cosB=

BH

BC

=

3

5

，而B(niǎo)C=3x，
∴BH=

9

5

x，
∵Rt△ABC繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到Rt△A′B′C，其中點(diǎn)B′正好落在AB上，
∴CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，
∵CH⊥BB′，
∴B′H=BH=

9

5

x，
∴AB′=AB-B′H-BH=

7

5

x，
∵∠ADB′=∠A′DC，∠A′=∠A，
∴△ADB′∽△A′DC，
∴

AB′

A′C

=

B′D

DC

，即

7 5 x

4x

=

B′D

DC

，
∴

B′D

DC

=

7

20

．
故答案為

7

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)以及銳角三角形函數(shù)．