【題目】(1)在一節(jié)數(shù)學探究課上,學生們發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律:
如圖①,當四邊形是矩形時,的直角頂點M在邊上運動,直角邊分別與線段、線段交于E、F兩點,在點M運動的過程中,始終存在著.于是又有同學提出了問題,如果將四邊形換成三角形時,是否仍存在同樣的規(guī)律呢?如圖②,在中,,點D為邊上的動點,過點D作,交于點E,交于點F,請問是否存在兩個相似的三角形,若存在,請證明;若不存在,請說明理由;
(2)結合上述規(guī)律,解決下列問題:
如圖③,在中,,,點P為上一點(不與B、C重合),過點P作于點E,交于點F,若為等腰三角形,求的長.
【答案】(1)存在兩個相似的三角形,,證明詳見解析;(2)的長為或或2.
【解析】
(1)由,,,得,從而證明與相似;
(2)先證,當為等腰三角形時,分和三種情況討論,分別求得的長,即可.
(1)存在兩個相似的三角形,,理由如下:
在和中,
∵,
,
∴.
又∵,
∴.
∴;
(2)∵,
∴,
∴,
∴
又∵,
∴,
∴.
∵為等腰三角形,設,可分以下三種情況討論:
①當時,則,
∴,如圖①,過點A作交于點G,
∵,,
∴,
∴,解得:;
②當時,如圖②,過點A作于點G,過點E作交于點H,則.
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,.
∴,解得:;
③當時,如圖③,過點F作交于點M,
,
,
∴,解得:.
綜上所述,的長為或或2.
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【題目】如圖,將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面積為9,陰影部分三角形的面積為4.若AA'=1,則A'D等于( 。
A. 2 B. 3 C. D.
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【題目】如圖,在中,,是邊上任意一點(點與點、不重合),以為一直角邊在的外部作,,連接,.
(1)在圖中,若,,現(xiàn)將圖中的繞著點順時針旋轉銳角,得到圖,那么線段,之間有怎樣的關系,寫出結論,并說明理由;
(2)在圖中,若,,,,現(xiàn)將圖中的繞著點順時針旋轉銳角,得到圖,連接、.
①求證:;
②計算:的值.
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【題目】綜合與實踐:折紙中的數(shù)學
問題背景
在數(shù)學活動課上,老師首先將平行四邊形紙片ABCD按如圖①所示方式折疊,使點C與點A重合,點D落到D′處,折痕為EF.這時同學們很快證得:△AEF是等腰三角形.接下來各學習小組也動手操作起來,請你解決他們提出的問題.
操作發(fā)現(xiàn)
(1) “爭先”小組將矩形紙片ABCD按上述方式折疊,如圖②,發(fā)現(xiàn)重疊部分△AEF恰好是等邊三角形,求矩形ABCD的長、寬之比是多少?
實踐探究
(2)“勵志”小組將矩形紙片ABCD沿EF折疊,如圖③,使B點落在AD邊上的B′處;沿B′G折疊,使D點落在D′處,且B′D′過F點.試探究四邊形EFGB′是什么特殊四邊形?
(3)再探究:在圖③中連接BB′,試判斷并證明△BB′G的形狀.
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【題目】有四張正面分別標有數(shù)字﹣1,0,1,2的不透明卡片,它們除數(shù)字外其余全部相同,現(xiàn)將它們背面朝上洗均勻.
(1)隨機抽取一張卡片,求抽到數(shù)字“﹣1”的概率;
(2)隨機抽取一張卡片,然后不放回,再隨機抽取一張卡片,請用列表或畫樹狀圖的方法求出第一次抽到數(shù)字“2”且第二次抽到數(shù)字“0”的概率.
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【題目】如圖,l1∥l2∥l3∥l4∥l5,且l1,l2,l3,l4,l5中相鄰兩條直線之間的距離相等,△ABC的頂點A,B,C分別在l1,l3,l5上,AB交l2于點D,BC交l4于點E,AC交l2于點F,若△DEF的面積是1,則△ABC的面積是( )
A.3. 5B.4C.4.5D.5
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【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+mx+n交x軸于點A(﹣2,0)和點B,交y軸于點C(0,2).
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)若點M在拋物線上,且S△AOM=2S△BOC,求點M的坐標;
(3)如圖2,設點N是線段AC上的一動點,作DN⊥x軸,交拋物線于點D,求線段DN長度的最大值.
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【題目】如圖,點A、B在雙曲線(x<0)上,連接OA、AB,以OA、AB為邊作OABC.若點C恰落在雙曲線(x>0)上,此時OABC的面積為( 。
A.B.C.D.4
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【題目】某汽車銷售商推出分期付款購車促銷活動,交首付款后,余額要在30個月內(nèi)結清,不計算利息,王先生在活動期間購買了價格為12萬元的汽車,交了首付款后平均每月付款萬元,個月結清.與的函數(shù)關系如圖所示,根據(jù)圖像回答下列問題:
(1)確定與的函數(shù)解析式,并求出首付款的數(shù)目;
(2)王先生若用20個月結清,平均每月應付多少萬元?
(3)如果打算每月付款不超過4000元,王先生至少要幾個月才能結清余額?
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