Question

【題目】（1）在一節(jié)數(shù)學探究課上，學生們發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律：

如圖①，當四邊形是矩形時，的直角頂點M在邊上運動，直角邊分別與線段、線段交于E、F兩點，在點M運動的過程中，始終存在著.于是又有同學提出了問題，如果將四邊形換成三角形時，是否仍存在同樣的規(guī)律呢？如圖②，在中，，點D為邊上的動點，過點D作，交于點E，交于點F，請問是否存在兩個相似的三角形，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；

（2）結合上述規(guī)律，解決下列問題：

如圖③，在中，，，點P為上一點（不與B、C重合），過點P作于點E，交于點F，若為等腰三角形，求的長.

Answer 1

【答案】（1）存在兩個相似的三角形，，證明詳見解析；（2）的長為或或2.

【解析】

（1）由，，，得，從而證明與相似；

（2）先證，當為等腰三角形時，分和三種情況討論，分別求得的長，即可.

（1）存在兩個相似的三角形，，理由如下：

在和中，

∵，

，

∴.

又∵，

∴.

∴；

（2）∵，

∴，

∴，

∴

又∵，

∴，

∴.

∵為等腰三角形，設，可分以下三種情況討論：

①當時，則，

∴，如圖①，過點A作交于點G，

∵，，

∴，

∴，解得：；

②當時，如圖②，過點A作于點G，過點E作交于點H，則.

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，.

∴，解得：；

③當時，如圖③，過點F作交于點M，

，

，

∴，解得：.

綜上所述，的長為或或2.