Question

如圖1，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié)QE并延長交射線BC于點F。

（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時，∠EBF=____°，猜想∠QFC=____°；
（2）如圖1，當(dāng)點P為射線BC上任意一點時，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明；
（3）已知線段AB=，設(shè)BP=x，點Q到射線BC的距離為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。

Answer 1

解：（1）∠EBF=30°，∠QFC=60°； （2）∠QFC=60°， 不妨設(shè)BP＞，如圖1所示， ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP， ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP， ∴∠BAP=∠EAQ， 在△ABP和△AEQ中， AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ， ∴△ABP≌△AEQ（SAS）， ∴∠AEQ=∠ABP=90°， ∴∠BEF=， ∴∠QFC=30°+30°=60°； （3）在圖1中，過點F作FG⊥BE于點G， ∵△ABE是等邊三角形， ∴BE=AB=， 由（1）得30°， 在Rt△BGF中，， ∴BF=， ∴EF=2， ∵△ABP≌△AEQ， ∴QE=BP=x， ∴QF=QE+EF=x+2， 過點Q作QH⊥BC，垂足為H， 在Rt△QHF中，（x＞0） 即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：。