Question

已知點(diǎn)C是線段BD上一動點(diǎn)，分別以線段BC和線段DC為邊在BD同側(cè)作等邊△ABC和等邊△CDE，⊙O是△ABC的外接圓．
（1）如圖1，求證：CE為⊙O的切線；
（2）如圖2，若△CDE的邊DE所在的直線與⊙O切于點(diǎn)F，求CD：BC的值．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ACB=∠ECD=60°，則∠ACE=60°，再根據(jù)等邊三角形的內(nèi)外心重合得到∠ACO=30°，則∠OCE=90°，
然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）作OH⊥BC于H，連結(jié)OF、OC、FC，根據(jù)垂徑定理得BH=CH，設(shè)OH=a，則CH=

3

a，OC=2a，所以BC=2

3

a，OF⊥FD，由△CDE為等邊三角形得∠CED=60°，∠D=60°，則∠CEF=120°，易得∠COF=60°，于是可判斷△OCF為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠OFC=60°，F(xiàn)C=OC=2a，可計(jì)算出∠CFD=30°，則∠FCD=90°，由此得到CD=

3

3

FC=

2 3 a

3

，然后計(jì)算CD：BC．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖1，
∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE=60°，
∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，
∴點(diǎn)O是等邊△ABC的外心和內(nèi)心，
∴∠ACO=

1

2

∠ACB=30°，
∴∠OCE=30°+60°=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE為⊙O的切線；
（2）解：作OH⊥BC于H，連結(jié)OF、OC、FC，如圖2，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
設(shè)OH=a，則CH=

3

a，OC=2a，
∴BC=2

3

a，
∵DF與⊙O切于點(diǎn)F，
∴OF⊥FD，
∵△CDE為等邊三角形，
∴∠CED=60°，∠D=60°，
∴∠CEF=120°，
而∠OCE=∠OFE=90°，
∴∠COF=60°，
∴△OCF為等邊三角形，
∴∠OFC=60°，F(xiàn)C=OC=2a，
∴∠CFD=30°，
∴∠FCD=90°，
∴CD=

3

3

FC=

2 3 a

3

，
∴CD：BC=

2 3 a

3

：2

3

a=1：3．

點(diǎn)評：切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．