Question

（2013•高港區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中0A=2，0B=4，將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△OCD，若已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A、D、B．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）連結(jié)DB，將△COD沿射線(xiàn)DB平移，速度為每秒

2

個(gè)單位．
①經(jīng)過(guò)多少秒O點(diǎn)平移后的O′點(diǎn)落在線(xiàn)段AB上？
②設(shè)DO的中點(diǎn)為M，在平移的過(guò)程中，點(diǎn)M、A、B能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出構(gòu)成等腰三角形時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：1）先根據(jù)題意求的點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）①設(shè)經(jīng)過(guò)t秒O點(diǎn)平移后的O′點(diǎn)落在線(xiàn)段AB上，即可得到點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（t，-t），再求得直線(xiàn)AB解析式，從而求得結(jié)果；
②先根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再分MA=MB、AB=AM、BA=BM三種情況求解即可．

解答：解：（1）由題意得A（2，0），B（0，-4），D（-4，0）
∴

4a+2b+c=0 c=-4 16a-4b+c=0

，解得

a= 1 2 b=1 c=-4

，
∴此拋物線(xiàn)的解析式為y=

1

2

x²+x-4；
（2）①∵B（0，-4），D（-4，0），
∴直線(xiàn)BD的解析式為y=-x-4，
∵OC=2，
∴點(diǎn)O在直線(xiàn)y=-x上運(yùn)動(dòng)，
∴設(shè)經(jīng)過(guò)t秒O點(diǎn)平移后的O′點(diǎn)落在線(xiàn)段AB上，
則點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（t，-t）
易得AB解析式為y=2x-4，則-t=2t-4，解得t=

4

3

，
答：經(jīng)過(guò)

4

3

秒O點(diǎn)平移后的O′點(diǎn)落在線(xiàn)段AB上；
（3）由題意得DO的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t-2，-t）
當(dāng)MA=MB時(shí)，可得M（-1，-1）
當(dāng)AB=AM時(shí)，可得M（

6

，-2-

6

）
當(dāng)BA=BM時(shí)，可得M（4，-6）．

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般作為壓軸題，題目比較典型．