【題目】已知拋物線l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不為0)的頂點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為N,我們稱以N為頂點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸且過點(diǎn)M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線,直線MN為拋物線l的衍生直線.

(1)如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是   ,衍生直線的解析式是   ;

(2)若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求這條拋物線的解析式;

(3)如圖,設(shè)(1)中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)為M,與y軸交點(diǎn)為N,將它的衍生直線MN先繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行,再沿y軸向上平移1個(gè)單位得直線n,P是直線n上的動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使△POM為直角三角形?若存在,求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3;(2)y=2x2﹣4x+1;

(3)存在,P為(,﹣2)或(,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2).

【解析】分析:(1)衍生拋物線頂點(diǎn)為原拋物線與y軸的交點(diǎn),則可根據(jù)頂點(diǎn)設(shè)頂點(diǎn)式方程,由衍生拋物線過原拋物線的頂點(diǎn)則解析式易得,MN解析式易得

(2)已知衍生拋物線和衍生直線求原拋物線思路正好與(1)相反,根據(jù)衍生拋物線與衍生直線的兩交點(diǎn)分別為衍生拋物線與原拋物線的交點(diǎn),則可推得原拋物線頂點(diǎn)式,再代入經(jīng)過點(diǎn),即得解析式.(3)由N(0,﹣3),衍生直線MN繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行得到y=﹣3,再向上平移1個(gè)單位即得直線y=﹣2,所以P點(diǎn)可設(shè)(x,﹣2).在坐標(biāo)系中使得△POM為直角三角形一般考慮勾股定理,對(duì)于坐標(biāo)系中的兩點(diǎn),分別過點(diǎn)作平行于x軸、y軸的直線,則可構(gòu)成以兩點(diǎn)間距離為斜邊的直角三角形,且直角邊長都為兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值.進(jìn)而我們可以先算出三點(diǎn)所成三條線的平方,然后組合構(gòu)成滿足勾股定理的三種情況,易得P點(diǎn)坐標(biāo).

本題解析:

(1)∵拋物線y=x2﹣2x﹣3過(0,﹣3),

∴設(shè)其衍生拋物線為y=ax2﹣3,

∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=(x﹣1)2﹣4,

∴衍生拋物線為y=ax2﹣3過拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)(1,﹣4),

∴﹣4=a1﹣3,

解得 a=﹣1,

∴衍生拋物線為y=﹣x2﹣3.

設(shè)衍生直線為y=kx+b,

∵y=kx+b過(0,﹣3),(1,﹣4),

,

∴衍生直線為y=﹣x﹣3.

(2)∵衍生拋物線和衍生直線兩交點(diǎn)分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點(diǎn),

∴將y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1聯(lián)立,得,

解得 ,

∵衍生拋物線y=﹣2x2+1的頂點(diǎn)為(0,1),

∴原拋物線的頂點(diǎn)為(1,﹣1).

設(shè)原拋物線為y=a(x﹣1)2﹣1,

∵y=a(x﹣1)2﹣1過(0,1),

∴1=a(0﹣1)2﹣1,

解得 a=2,

∴原拋物線為y=2x2﹣4x+1.

(3)∵N(0,﹣3),

∴MN繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行后,解析式為y=﹣3,

∴再沿y軸向上平移1個(gè)單位得的直線n解析式為y=﹣2.

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,﹣2),

∵O(0,0),M(1,﹣4),

∴OM2=(xM﹣xO2+(yO﹣yM2=1+16=17,

OP2=(|xP﹣xO|)2+(yO﹣yP2=x2+4,

MP2=(|xP﹣xM|)2+(yP﹣yM2=(x﹣1)2+4=x2﹣2x+5.

①當(dāng)OM2=OP2+MP2時(shí),有17=x2+4+x2﹣2x+5,

解得x=或x=,即P(,﹣2)或P(,﹣2).

②當(dāng)OP2=OM2+MP2時(shí),有x2+4=17+x2﹣2x+5,

解得 x=9,即P(9,﹣2).

③當(dāng)MP2=OP2+OM2時(shí),有x2﹣2x+5=x2+4+17,

解得 x=﹣8,即P(﹣8,﹣2).

綜上所述,當(dāng)P為(,﹣2)或(,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2)時(shí),△POM為直角三角形.

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探究:如圖①,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),證明BC=CE+CD.

應(yīng)用:在探究的條件下,若AB=CD=1,則DCE的周長為_______.

拓展:(1)如圖②,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí),BC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為_______.

(2)如圖③,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí),BCCD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為_______.

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