【題目】如圖,在RtABC中,C=90°,AC=3,AB=5,點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動,到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回,點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動.伴隨著P、Q的運動,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于點D,交折線QBBCCP于點E.點P、Q同時出發(fā),當點Q到達點B時停止運動,點P也隨之停止.設點P、Q運動的時間是t秒(t>0).

(1)當t=2時,AP= ,點Q到AC的距離是 ;

(2)在點P從C向A運動的過程中,求APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;(不必寫出t的取值范圍)

(3)在點E從B向C運動的過程中,四邊形QBED能否成為直角梯形?若能,求t的值;若不能,請說明理由;

(4)當DE經(jīng)過點C時,請直接寫出t的值.

【答案】(1)1,;(2)S=t2+t;(3)能.t=;(4)t=或t=

【解析】

試題分析:(1)先求PC,再求AP,然后求AQ,再由三角形相似求Q到AC的距離;(2)過點Q作QFAC于點F,先求BC,再用t表示QF,然后得出S與t的函數(shù)解析式;(3)當DEQB時,得四邊形QBED是直角梯形,由APQ∽△ABC,由線段的對應比例關(guān)系求得t,由PQBC,四邊形QBED是直角梯形,AQP∽△ABC,由線段的對應比例關(guān)系求t;(4)第一種情況點P由C向A運動,DE經(jīng)過點C、連接QC,作QGBC于點G,由PC2=QC2解得t;第二種情況,點P由A向C運動,DE經(jīng)過點C,由圖列出相互關(guān)系,求解t.

試題解析:(1)如圖1,過點Q作QFAC于點F,

AC=3,點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動,

當t=2時,AP=32=1;在RtABC中,C=90°,AC=3,AB=5.BC=4,QFAC,BCAC,QFBC,∴△ACB∽△AFQ,,=,解得:QF=;故答案為:1,;(2)如圖1,過點Q作QFAC于點F,如圖1,AQ=CP=t,AP=3t.由AQF∽△ABC,得=QF=t.S=(3t)t,即S=t2+t;(3)能成為直角梯形.當由APQ∽△ABC,DEQB時,如圖2.

DEPQ,PQQB,四邊形QBED是直角梯形,此時AQP=90°.由APQ∽△ABC,得,即.解得t=;如圖3,

當PQBC時,DEBC,四邊形QBED是直角梯形.此時APQ=90°.由AQP∽△ABC,得,即.解得t=,綜上所述:在點E從B向C運動的過程中,當t=時,四邊形QBED能成為直角梯形;(4)點P由C向A運動,DE經(jīng)過點C.連接QC,作QGBC于點G,如圖4.

sinB===QG=(5t),同理BG=(5t),CG=4(5t),PC=t,QC2=QG2+CG2=[(5t)]2+[4(5t)]2CD是PQ的中垂線,PC=QC,則PC2=QC2,得t2=[(5t)]2+[4(5t)]2,解得t=點P由A向C運動,DE經(jīng)過點C,如圖5.

可知PC=6t,QC2=QG2+CG2,由PC2=QC2可知:(6t)2=[(5t)]2+[4(5t)]2,即t=.綜上所述:t=或t=

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