【題目】如圖,已知ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,BC=m,E為BC邊上的動點(diǎn),連結(jié)AE,作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)F.
(1)若m=6,①當(dāng)點(diǎn)F恰好落在∠BCD的平分線上時(shí),求BE的長;
②當(dāng)E、C重合時(shí),求點(diǎn)F到直線BC的距離;
(2)當(dāng)點(diǎn)F到直線BC的距離d滿足條件:2﹣2≤d≤2+4,求m的取值范圍.
【答案】(1)①BE=10﹣2;②;(2)4﹣4≤m≤8+4
【解析】
(1)①過F作FT⊥BC于T,延長BA交∠BCD的平分線于G,連接BF,EF,AF,由平行四邊形性質(zhì)可得:△BCG,△CDH均為等邊三角形,AG=AH=2,再由B、F關(guān)于直線AE對稱,可證得:△CEF∽△GFA,再結(jié)合勾股定理可求得BE的長;
②設(shè)BF交AC于T,過T作TR⊥BC于R,過F作FH⊥BC于H,過A作AG⊥BC于G,可求得BG、AG、GH、AC,再由面積法可求得BT、BF,再證明△BTR∽△BFH,結(jié)合勾股定理即可求得點(diǎn)F到直線BC的距離;
(2)先找出d的最大值的情形,畫出圖形,由d的最大值可求得m的最大值再根據(jù)d的最小值求得m的最小值,即可得m的范圍.
解:(1)①如圖1,過F作FT⊥BC于T,延長BA交∠BCD的平分線于G,連接BF,EF,AF,
∵ABCD,
∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC,
∵∠ABC=60°,
∴∠BCD=120°,∠ADC=60°,
∵CG平分∠BCD,
∴∠BCG=∠DCG=60°
∴△BCG,△CDH均為等邊三角形,
∴CG=BC=BG=6,∠G=60°,DH=CD=4,
∴AG=AH=2,
∵B、F關(guān)于直線AE對稱,
∴AF=AB=4,EF=BE,∠AFE=∠ABC=60°,
∴∠AFG+∠CFE=120°,∠AFG+∠FAG=120°,
∴∠CFE=∠FAG,
∴△CEF∽△GFA,
∴,即:CF=EF,設(shè)BE=EF=x,則CF=x,
∵∠CFT=30°,
∴CT=CF=x,FT=x,
∵ET2+FT2=EF2,
∴,
解得:x1=10+ (不符合題意,舍去),x2=10﹣,
∴BE=10﹣2,
②如圖2,設(shè)BF交AC于T,過T作TR⊥BC于R,過F作FH⊥BC于H,過A作AG⊥BC于G,連接AF,FC,
∵∠AGB=90°,∠ABC=60°,
∴∠BAG=30°
∴BG= AB=2,AG=2,GC=BC﹣BG=4,
∴AC=,
∵B、F關(guān)于AC對稱,
∴BF⊥AC,BT=TF,
由△ABC面積公式可得BTAC=AGBC,
即BT=2×6,
∴BT=,BF=,
在Rt△BCT中,CT=,
∵TRBC=BTCT,即6TR=,
∴TR=,
∵TR⊥BC,FH⊥BC,
∴TR∥FH,
∴△BTR∽△BFH,
∴,
∴FH=2TR=,
故點(diǎn)F到直線BC的距離為;
(2)如圖3,作AG⊥BC于G,
當(dāng)點(diǎn)FA、G三點(diǎn)共線時(shí),點(diǎn)F到直線BC的距離d最大,
此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,FG=2 +4,
由(1)知,BG=2,AG=2 ,
∴BF=,
∴BH=BF=,
∵∠BHC=∠BGF=90°,∠CBH=∠FBG,
∴△CBH∽△FBG,
∴,即,
解得:m=8+4 ,
∴m的最大值為8+4 ,
如圖4,作AG⊥BC于G,FH⊥BC于H,FR⊥AG于R,連接AF,
設(shè)BF交AC于T,
則AG=2 ,BG=2,CG=BC﹣BG=m-2,
此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,FH=﹣2,
顯然,FHGR是矩形,
∴RG=FH=﹣2, AR=AG﹣RG=2,
∵B、F關(guān)于AC對稱,
∴BF⊥AC,BT=TF,AF=AB=4,
∴RF=GH=,
∴BH=BG+GH=2+ ,
∴BF=,
∴BT=TF=BF=2,
∵△BCT∽△BFH,
∴,即,
解得m=4 ﹣4,
∴m的最小值為4 ﹣4,
綜上所述,4﹣4≤m≤8+4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD與正方形CEFG,M是AF的中點(diǎn),連接DM,EM.
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(2)如圖2,點(diǎn)E在DC的延長線上,點(diǎn)G在BC上,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請證明你的結(jié)論;
(3)將圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),使D,E,F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上,若AB=13,CE=5,請畫出圖形,并直接寫出MF的長.
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【題目】某服裝店出售某品牌的棉衣,進(jìn)價(jià)為100元/件,當(dāng)售價(jià)為150元/件時(shí),平均每天可賣30件;為了盡快減少庫存迎接“元旦”的到來,商店決定降價(jià)銷售,增加利潤,經(jīng)調(diào)查每件降價(jià)5元,則每天可多賣10件,現(xiàn)要想平均每天獲利2000元,且讓顧客得到實(shí)惠,那么每件棉衣應(yīng)降價(jià)多少元?
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【題目】草莓是云南多地盛產(chǎn)的一種水果,今年某水果銷售店在草莓銷售旺季,試銷售成本為每千克20元的草莓,規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià),也不高于每千克40元,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn),銷售量y(千克)與銷售單價(jià)x(元)符合一次函數(shù)關(guān)系,如圖是y與x的函數(shù)關(guān)系圖象.
(1)求y與x的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)該水果銷售店試銷草莓獲得的利潤為W元,求W的最大值.
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【題目】甲、乙兩人要某風(fēng)景區(qū)游玩,每天某一時(shí)段開往該景區(qū)有三輛汽車(票價(jià)相同),但是他們不清楚這三輛車的舒適程度,也不知道汽車開來的順序,兩人采用了不同的乘車方案:
甲無論如何總是上開來的第一輛車,而乙則是先觀察后上車,當(dāng)?shù)谝惠v車開來時(shí),他不上車,而是仔細(xì)觀察車輛的舒適狀況,如果第二輛車狀況比第一輛好,他就上第二輛車,如果第二輛不比第一輛好,他就上第三輛車.這三輛車的舒適程度為上、中、下三等,請解決下面的問題:
(1)請用畫樹形圖或列表的方法分析這三輛車出現(xiàn)的先后順序,寫出所有可能的結(jié)果;(用上中下表示)
(2)分析甲、乙兩人采用的方案,誰的方案使自己坐上上等車的可能性大,說明理由.
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【題目】隨著生活水平的提高,人們對飲水品質(zhì)的需求越來越高,某公司根據(jù)市場需求代理A,B兩種型號的凈水器,其中A型凈水器每臺的利潤為400元,B型凈水器每臺的利潤為500元.該公司計(jì)劃再一次性購進(jìn)兩種型號的凈水器共100臺,其中B型凈水器的進(jìn)貨量不超過A型凈水器的2倍,設(shè)購進(jìn)A型凈水器x臺,這100臺凈水器的銷售總利潤為y元.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該公司購進(jìn)A型、B型凈水器各多少臺,才能使銷售總利潤最大,最大利潤是多少?
(3)實(shí)際進(jìn)貨時(shí),廠家對A型凈水器出廠價(jià)下調(diào)a(0<a<150)元,且限定公司最多購進(jìn)A型凈水器60臺,若公司保持同種凈水器的售價(jià)不變,請你根據(jù)以上信息,設(shè)計(jì)出使這100臺凈水器銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案.
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【題目】(本小題滿分10分)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分線分別與AC,BC及AB的延長線相交于點(diǎn)D,E,F,且BF=BC.⊙O是△BEF的外接圓,∠EBF的平分線交EF于點(diǎn)G,交于點(diǎn)H,連接BD、FH.
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【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,4),在x軸上有一動點(diǎn)D9(m,0)(0<m<4),過點(diǎn)D作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)E,
(1)直接寫出拋物線和直線AB的函數(shù)表達(dá)式.
(2)當(dāng)點(diǎn)C是DE的中點(diǎn)時(shí),求出m的值,并判定四邊形ODEB的形狀(不要求證明).
(3)在(2)的條件下,將線段OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OD′,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<a<90°),連接D′A、D′B,求D′A+D′B的最小值.
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【題目】已知,在△ABC和△EFC中,∠ABC=∠EFC=90°,點(diǎn)E在△ABC內(nèi),且∠CAE+∠CBE=90°
(1)如圖1,當(dāng)△ABC和△EFC均為等腰直角三角形時(shí),連接BF,
①求證:△CAE∽△CBF;
②若BE=2,AE=4,求EF的長;
(2)如圖2,當(dāng)△ABC和△EFC均為一般直角三角形時(shí),若=k,BE=1,AE=3,CE=4,求k的值.
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