Question

已知：如圖1，拋物線y=-x²+bx+c的頂點為Q，與x軸交于A（-1，0）、B（5，0）兩點，與y軸交于C點．
（1）求拋物線的解析式及其頂點Q的坐標；
（2）在該拋物線的對稱軸上求一點P，使得△PAC的周長最小．請在圖中畫出點P的位置，并求點P的坐標；
（3）如圖2，若點D是第一象限拋物線上的一個動點，過D作DE⊥x軸，垂足為E．
①有一個同學說：“在第一象限拋物線上的所有點中，拋物線的頂點Q與x軸相距最遠，所以當點D運動至點Q時，折線D-E-O的長度最長”．這個同學的說法正確嗎？請說明理由．
②若DE與直線BC交于點F．試探究：四邊形DCEB能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點D的坐標；若不能，請簡要說明理由；

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（-1，0）、B（5，0）分別代入y=-x²+bx+c中即可確定b、c的值，然后配方后即可確定其頂點坐標；
（2）連接BC，交對稱軸于點P，連接AP、AC．求得C點的坐標后然后確定直線BC的解析式，最后求得其與x=1與直線BC的交點坐標即為點P的坐標；
（3）①設D（t，-t²+4t+5），設折線D-E-O的長度為L，求得L的最大值后與當點D與Q重合時相比較即可得到答案；
②假設四邊形DCEB為平行四邊形，則可得到EF=DF，CF=BF．然后根據DE∥y軸求得DF，得到DF＞EF，這與EF=DF相矛盾，從而否定是平行四邊形．
解答：解：（1）將A（-1，0）、B（5，0）分別代入y=-x²+bx+c中，
得，得∴y=-x²+4x+5．
∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，∴Q（2，9）．
（2）如圖1，連接BC，交對稱軸于點P，連接AP、AC．
∵AC長為定值，∴要使△PAC的周長最小，只需PA+PC最�。�
∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是點B（5，0），拋物線y=-x²+4x+5與y軸交點C的坐標為（0，5）．
∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最�。�
設直線BC的解析式為y=kx+5，將B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，
∴y=-x+5，∴當x=2時，y=3，∴點P的坐標為（2，3）．
（3）①這個同學的說法不正確．
∵設D（t，-t²+4t+5），設折線D-E-O的長度為L，則，
∵a＜0，∴當時，．
而當點D與Q重合時，，
∴該該同學的說法不正確．
②四邊形DCEB不能為平行四邊形．
如圖2，若四邊形DCEB為平行四邊形，則EF=DF，CF=BF．
∵DE∥y軸，∴，即OE=BE=2.5．
當x_F=2.5時，y_F=-2.5+5=2.5，即EF=2.5；
當x_D=2.5時，，即DE=8.75．
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25＞2.5．即DF＞EF，這與EF=DF相矛盾，
∴四邊形DCEB不能為平行四邊形．
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點的確定方法及有關的幾何知識．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．