Question

【題目】如圖,Rt△ACB中,∠ACB=90°，AC=BC，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作AF⊥AE且AF=AE.

(1)如圖1，過(guò)F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：EC+CD=DF；

(2)如圖2,連接BF交AC于G點(diǎn),若 =3，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；

(3)當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上,連接BF與直線AC交于G點(diǎn),若,則=_______

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；（2）答案見解析；（3）.

【解析】

（1）通過(guò)全等三角形△ADF≌△EDA的對(duì)應(yīng)邊相等得到：AD=CD，FD=AC，則利用等量代換和圖形中相關(guān)線段間的和差關(guān)系證得結(jié)論；

（2）過(guò)F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，根據(jù)（1）中結(jié)論可得FD=AC=BC，即可證明△FGD≌△BCD，可得DG=CG，根據(jù)=3可證，根據(jù)AD=CE，AC=BC，即可解題；（3）過(guò)F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，易證 ，由（1）（2）可知△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，可得CG=GD，AD=CE，即可求得的值，即可解題．

證明：（1）如圖1，∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠F=90°，

∴∠CAE=∠AFD，

在△ADF和△ECA中， ，

∴△ADF≌△ECA（AAS），

∴AD=CD，FD=AC，

∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，即EC+CD=DF；

證明：（2）如圖2，

過(guò)F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，

∵△ADF≌△ECA，

∴FD=AC=BC，

在△FDG和△BCG中， ，

∴△FDG≌△BCG（AAS），

∴GD=CG，

∵ =3

∴

∴，

∵AD=CE，AC=BC

∴ ，

∴E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；

（3）過(guò)F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，如圖3，

∵ ，BC=AC，CE=CB+BE，

∴，

由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，

∴CG=GD，AD=CE，

∴ ，

∴ ．