Question

（2012•黃陂區(qū)模擬）如圖，函數(shù)y=

k

x

(x＜0)的圖象與直線y=-

3

3

x交于A點，將直線OA繞O點順時針旋轉30°，交函數(shù)y=

k

x

(x＜0)的圖象于B點，若線段AB=3

2

-

6

，則k=

-3

3

．

Answer 1

分析：作AC⊥x軸與C，BD⊥x軸于D，AE⊥BD于E點，設A點坐標為（3a，-

3

a），則OC=-3a，AC=-

3

a，利用勾股定理計算出OA=-2

3

a，得到∠AOC=30°，再根據(jù)旋轉的性質得到OA=OB，∠BOD=60°，易證得Rt△OAC≌Rt△BOD，OD=AC=-

3

a，BD=OC=-3a，于是有AE=OC-OD=-3a+

3

a，BE=BD-AC=-3a+

3

a，即AE=BE，則△ABE為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得到3

2

-

6

=

2

（-3a+

3

a），求出a=1，確定A點坐標為（3，-

3

），然后把A（3，-

3

）代入函數(shù)y=

k

x

即可得到k的值．

解答：解：作AC⊥x軸與C，BD⊥x軸于D，AE⊥BD于E點，如圖，
點A在直線y=-

3

3

x上，可設A點坐標為（3a，-

3

a），
在Rt△OAC中，OC=-3a，AC=-

3

a，
∴OA=

AC2+OC2

=-2

3

a，
∴∠AOC=30°，
∵直線OA繞O點順時針旋轉30°得到OB，
∴OA=OB，∠BOD=60°，
∴∠OBD=30°，
∴Rt△OAC≌Rt△BOD，
∴OD=AC=-

3

a，BD=OC=-3a，
∵四邊形ACDE為矩形，
∴AE=OC-OD=-3a+

3

a，BE=BD-AC=-3a+

3

a，
∴AE=BE，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴AB=

2

AE，即3

2

-

6

=

2

（-3a+

3

a），
解得a=1，
∴A點坐標為（3，-

3

），
而點A在函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴k=3×（-

3

）=-3

3

．
故答案為-3

3

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點在反比例函數(shù)圖象上，則點的橫縱坐標滿足其解析式；利用勾股定理、旋轉的性質以及等腰直角三角形的性質進行線段的轉換與計算．