Question

已知拋物線y=x²+（2k+1）x-k²+k．
（1）求證：此拋物線與x軸總有兩個不同的交點；
（2）設(shè)x₁、x₂是此拋物線與x軸兩個交點的橫坐標，且滿足x₁²+x₂²=-2k²+2k+1．
①求拋物線的解析式；
②設(shè)點P（m₁，n₁）、Q（m₂，n₂）是拋物線上兩個不同的點，且關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱，求m₁+m₂的值．

Answer 1

解：（1）△=（2k+1）²-4（-k²+k）=8k²+1＞0
∴拋物線與x軸有兩個不同的交點

（2）①由題意：（x₁+x₂）²=（2k+1）²-2（-k²+k）=-2k²+2k+1；
4k²+4k+1+2k²-2k=-2k²+2k+1
∴8k²=0，k=0
拋物線的解析式為y=x²+x．
②∵點P、Q關(guān)于次拋物線的對稱軸對稱；
∴n₁=n₂，又n₁=m₁²+m₁，n₂=m₂²+m₂
∴m₁²+m₁=m₂²+m₂，
即（m₁-m₂）（m₁+m₂+1）=0
∵P、Q是拋物線上不同的點
∴m₁≠m₂，
即m₁-m₂≠0
∴m₁+m₂=-1．
分析：（1）令y=0，再求出的方程的△是否大于0即可．
（2）①令y=0，用一元二次方程的根與系數(shù)進行求解即可．
②P、Q關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則說明了兩點的縱坐標相同，即n₁=n₂，根據(jù)拋物線的解析式，可用m₁，m₂表示出n₁，n₂然后根據(jù)n₁=n₂求解即可．
點評：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識點．