Question

如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BE⊥CD于E交AD的延長線于F，DC=2AD，AB=BE．
（1）求證：AD=DE．
（2）求證：四邊形BCFD是菱形．

Answer 1

分析：（1）由AB=BE，BD=BD，利用“HL”可證△BDA≌△BDE，得出AD=DE；
（2）由AD=DE，DC=DE+EC=2AD，可得DE=EC，又AD∥BC，可證△DEF≌△CEB，得出四邊形BCFD為平行四邊形，再由BE⊥CD證明四邊形BCFD是菱形．

解答：證明：（1）∵AB=BE，BD=BD，∠A=∠DEB=90°，
∴△BDA≌△BDE，
∴AD=DE；

（2）∵AD=DE，DC=DE+EC=2AD，
∴DE=EC，
又AD∥BC，
∴△DEF≌△CEB，
∴DF=BC，
∴四邊形BCFD為平行四邊形，
又∵BE⊥CD，
∴四邊形BCFD是菱形．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是明確每個(gè)判定定理的條件，逐步推出特殊四邊形．