(2007•南寧)如圖,在平面直角坐標系中,A,B兩點的坐標分別為A(-2,0),B(8,0),以AB為直徑的半圓與y軸交于點M,以AB為一邊作正方形ABCD.
(1)求C,M兩點的坐標;
(2)連接CM,試判斷直線CM是否與⊙P相切?說明你的理由;
(3)在x軸上是否存在一點Q,使得△QMC的周長最?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)依題意推出AB=BC=CD=AD,連接PM,根據(jù)勾股定理求出OM的值后可求出點M的坐標;
(2)本題有多種方法解答.首先連接PC,CM,根據(jù)勾股定理先求出CM的值,然后證明△CMP≌△CPB即可證得∠CMP=∠CBP=90°;
(3)本題有幾種解法,符合題意即可,首先作M點關(guān)于x軸的對稱點M',連接M'C,根據(jù)題意可知QM+QC的和最小,因為MC為定值,故△QMC的周長最小,證明△M'OQ∽△M'EC,利用線段比求出OQ的值.
解答:解:(1)∵A(-2,0),B(8,0),四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=10,⊙P的半徑為5,(1分)
C(8,10),(2分)
連接PM,PM=5,在Rt△PMO中,
∴M(0,4);(3分)

(2)方法一:直線CM是⊙P的切線.(4分)
證明:連接PC,CM,如圖(1),
在Rt△EMC中,(5分)
∴CM=CB
又∵PM=PB,CP=CP
∴△CPM≌△CPB(6)
∴∠CMP=∠CBP=90°
CM是⊙P的切線;(7分)

方法二:直線CM是⊙P的切線.(4分)
證明:連接PC,如圖(1),在Rt△PBC中,
PC2=PB2+BC2=52+102=125(5分)
在Rt△MEC中
∴CM2=CE2+ME2=82+62=100(6分)
∴PC2=CM2+PM2
∴△PMC是直角三角形,即∠PMC=90°
∴直線CM與⊙P相切.(7分)

方法三:直線CM是⊙P的切線.(4分)
證明:連接MB,PM如圖(2),
在Rt△EMC中,(5)
∴CM=CB
∴∠CBM=∠CMB(6)
∴PM=PB∴∠PBM=∠PMB
∴∠PMB+∠CMB=∠PBM+∠CBM=90°
即PM⊥MC
∴CM是⊙P的切線;(7分)

(3)方法一:作M點關(guān)于x軸的對稱點M',則M′(0,-4),
連接M'C,與x軸交于點Q,此時QM+QC的和最小,
因為MC為定值,所以△QMC的周長最小,(8分)
∵△M'OQ∽△M′EC
(9分)
;(10分)

方法二:作M點關(guān)于x軸的對稱點M′,則M′(0,-4),
連接M'C,與x軸交于點Q,此時QM+QC的和最小,
因為MC為定值,所以△QMC的周長最小,(8分)
設(shè)直線M'C的解析式為y=kx+b,
把M′(0,-4)和C(8,10)分別代入得,
解得
,當(dāng)y=0時,(9分)
.(10分)
點評:本題解答方法靈活多變.綜合考查的是軸對稱的有關(guān)知識,相似三角形的判定以及正方形的性質(zhì)等,難度中上.
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(2)連接CM,試判斷直線CM是否與⊙P相切?說明你的理由;
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(2)連接CM,試判斷直線CM是否與⊙P相切?說明你的理由;
(3)在x軸上是否存在一點Q,使得△QMC的周長最?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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