Question

閱讀下面一段：
計(jì)算1+5+5²+5³…+5⁹⁹+5¹⁰⁰
觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍，如果將上式各項(xiàng)都乘以5，所得新算式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于計(jì)算．
解：設(shè)S=1+5+5²+5³…+5⁹⁹+5¹⁰⁰，①
則5S=5+5²+…+5¹⁰⁰+5¹⁰¹，②
②-①得4S=5¹⁰¹-1，則S=

5101-1

4

．
上面計(jì)算用的方法稱為“錯(cuò)位相減法”，如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等（本例中是都等于5），那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯(cuò)位相減”法來(lái)解決．
下面請(qǐng)你觀察算式1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22000

是否具備上述規(guī)律？若是，請(qǐng)你嘗試用“錯(cuò)位相減”法計(jì)算上式的結(jié)果．

Answer 1

分析：由題中的例子知從第二項(xiàng)起，每項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍，等式兩邊同乘以5，觀察知算式1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2200

從第二項(xiàng)起，每項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的

1

2

倍，運(yùn)用類比的方法，等式兩邊同時(shí)乘以

1

2

，再利用錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果．

解答：解：此式具備上述規(guī)律
設(shè)S=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22000

，①
則

1

2

S=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

22001

，②
①-②得

1

2

S=1-

1

22001

，
解得S=2-

1

22000

．
故答案為：2-

1

22000

．

點(diǎn)評(píng)：此題重在提高大家的模仿與應(yīng)用能力，運(yùn)用已知的信息解答新型問題，要充分理解題中信息，并靈活運(yùn)用．