Question

如圖，已知∠ABC=60°，以線段AB為底邊，在線段AB的右側(cè)作底角為α的等腰△ABE，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），以AP為底邊在線段AP的右側(cè)作底角為α的等腰△APQ，連接QE并延長交BC于點F．
（1）如圖1，當α=50°時，∠EBF=______°，猜想∠QFC=______°；
（2）當α=45°時，猜想∠QFC的度數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖2，當α為任意角（0°＜α＜60°）時，猜想∠QFC的度數(shù)是多少？（不需說明理由）

Answer 1

解：（1）∠EBF=∠ABC-α=60°-50°=10°，
猜想：∠QFC=50°；

（2）猜想∠QFC=45°．
證明：∵等腰△ABE和等腰△APQ的底角都是α，
∴△ABE∽△APQ，
∴=，
∵∠QAP=∠EAB，
∴∠QAP+∠PAE=∠EAB+∠PAE，
即∠QAE=∠PAB，
∴△AQE∽△APB，
∴∠AEQ=∠ABC=60°，
∵∠AEB=180°-2×45°=90°，
∴∠BEF=180°-90°-60°=30°，
∵∠EBF=∠ABC-∠ABE=60°-45°=15°，
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=15°+30°=45°；

（3）根據(jù)（2）∠AEQ=∠ABC=60°，
在等腰△ABE中，∠AEB=180°-2α，
∴∠BEF=180°-（180°-2α）-60°=2α-60°，
又∵∠EBF=∠ABC-∠ABE=60°-α，
∴∠QFC=∠BEF+∠EBF=2α-60°+60°-α=α．
分析：（1）根據(jù)∠EBF=∠ABC-α計算即可得解，猜想∠QFC=α；
（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似求出△ABE和△APQ相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，再求出∠QAE=∠PAB，然后利用兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等兩三角形相似判斷出△AQE和△APB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠AEQ=∠ABC，然后求出∠BEF，再求出∠EBF，最后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠QFC=∠EBF+∠BEF代入數(shù)據(jù)計算即可得解；
（3）根據(jù)（2）的思路把45°用α表示求解即可．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法與相似三角形對應(yīng)角相等求出∠AEQ=∠ABC是解題的關(guān)鍵．