Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，E是高AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對稱點(diǎn)（點(diǎn)F在高AD上，且不與A，D重合）．過點(diǎn)F作BC的平行線與AB交于G，與AC交于H，連接GE并延長交BC于點(diǎn)I，連接HE并延長交BC于點(diǎn)J，連接GJ，HI．
（1）求證：四邊形GHIJ是矩形；
（2）若BC=10，AD=6，設(shè)DE=x，S_矩形GHIJ=y．
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②點(diǎn)E在何處時(shí)，矩形GHIJ的面積與△AGH的面積相等？

Answer 1

【答案】分析：（1）易得△GEF≌△IED，△FHE≌△DJE，則有GE=EI，EH=JE，所以四邊形GHIJ是平行四邊形，由等腰三角形的性質(zhì)：底邊上的高與底邊上的中線重合知，AF垂直平分GH?EF∥HI（三角形中位線定理）?HI⊥GH?四邊形GHIJ是矩形．
（2）由于矩形GHIJ的面積=GH•FD，△AGH的面積=HG•AF，所以要使矩形GHIJ的面積等于△AGH的面積，則需AF=2DF，建立關(guān)于ED的方程，求得ED即可．
解答：（1）證明：∵F，E關(guān)于點(diǎn)D對稱，
∴FE=ED（1分）
又∵GH∥BC，
∴∠FGE=∠EID，
∵∠GEF=∠DEI，
∴△GEF≌△IED，
∴GE=EI，（2分）
同理可證EH=JE，（3分）
∴四邊形GHIJ是平行四邊形，（4分）
∵AB=AC，GH∥BC，AD⊥BC，
∴AF垂直平分GH，
∴EF∥HI（三角形中位線定理），
∴HI⊥GH，四邊形GHIJ是矩形．（5分）

（2）解：①由（1）得，DF=2ED=2x，
∵GH∥BC，
∴△AGH∽△ABC，
∴，
∴．
即GH=（6-2x）=10-x．
∴S_矩形GHIJ=HI•GH=2x•（10-x）=-x²+20x，（6分）
∵AF=6-2x＞0，
∴x＜3，∴0＜x＜3．（7分）
②解法（一）：
∵S_△AGH=AF•GH=•（6-2x）•（10-x），S_矩形GHIJ=2x•（10-x），
依題意，得：•（6-2x）•（10-x）=2x•（10-x），（8分）
解得：x₁=1，x₂=3（x＜3，舍去），
即：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D的距離為1時(shí)，四邊形GHIJ的面積與△AGH的面積相等．（9分）

解法（二）：要使矩形GHIJ的面積等于△AGH的面積，則需AF=2DF，（8分）
即6-2x=4x，∴x=1，
∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D的距離為1時(shí)，四邊形GHIJ的面積與△AGH的面積相等．（9分）
點(diǎn)評：本題利用了對稱的概念，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形和矩形的判定，三角形和矩形的面積公式求解．