Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC中點，AE平分∠BAD交BC于點E，點O是AB上一點，⊙O過A、E兩點，交AD于點G，交AB于點F．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）當∠BAC=120°時，求∠EFG的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，證OE⊥BC即可．因為AD⊥BC，所以轉(zhuǎn)證OE∥AD．由AE平分∠BAD，OA=OE易得此結(jié)論．
（2）∠EFG=∠GAE=∠EAO=∠AEO．根據(jù)已知條件易得∠B=30°，∠EOB=60°．從而求解．
解答：（1）證明：連接OE．
∵AB=AC且D是BC中點，
∴AD⊥BC．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
則∠OEA=∠DAE，
∴OE∥AD，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切線．

（2）解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，AD⊥BC，EO∥AD，
∴∠BAD=∠EOB=60°且AE平分∠BAD，
∴∠EAO=∠EAG=30°
又∵∠EFG與∠GAE都對應弧GE
∴∠EFG=∠GAE=30°（同弧所對的圓周角相等）
∴∠EFG=30°．
點評：此題考查了切線的判定、等腰三角形性質(zhì)等知識點，難度中等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．