Question

如圖，正方形ABCD中，E、F分別是BC邊、CD邊上的動點(diǎn)，滿足∠EAF=45°．
（1）求證：BE+DF=EF；
（2）若正方形邊長為1，求△CEF內(nèi)切圓半徑的最大值．

Answer 1

（1）證明：延長FD到G，使DG=BE，連接AG，
∵在△GDA和△EBA中，
，
∴△GDA≌△EBA，
∴AG=AE，∠GAD=∠EAB，
故∠GAF=45°，
在△GAF和△EAF中，
∵，
∴△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
即GD+DF=BE+DF=EF；

（2）解：令BE=a，DF=b，則EF=a+b，r==1-（a+b），
∵（1-a）²+（1-b）²=（a+b）²，
整理得1-（a+b）=ab，而ab≤（a+b）²，
（a+b）²+（a+b）-1≥0，
解得：a+b≥-2+2或a+b≤-2-2（舍去），
r=1-（a+b）≤1-（-2+2）=3-2，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=-1時，等號成立．
分析：（1）延長FD到G，使DG=BE，連接AG，證△GDA≌△EBA，△GAF≌△EAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出GD+DF=BE+DF=EF進(jìn)而求出即可；
（2）首先令BE=a，DF=b，則EF=a+b，r==1-（a+b），進(jìn)而利用勾股定理得出（a+b）²+（a+b）-1≥0，進(jìn)而求出即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及勾股定理的綜合應(yīng)用以及不等式的解法等知識，作出輔助線延長FD到G，使DG=BE，利用全等三角形性質(zhì)與判定求出是解題關(guān)鍵．