Question

如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=4

5

，D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（D和A、B不重合），過D作DE∥BC交AC于E，并以DE為邊向BC一側(cè)作正方形DEFG，設(shè)AD=x，
（1）請(qǐng)用x的代數(shù)式表示正方形DEFG的面積，并求出當(dāng)邊FG落在BC邊上時(shí)的x的值；
（2）設(shè)正方形DEFG與△ABC重合部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)及其定義域；
（3）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在D、G、B三點(diǎn)中的兩點(diǎn)落在以第三點(diǎn)為圓心的圓上的情況？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AD的值，若不存在，則請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）首先設(shè)BC邊上的高AM交DE天點(diǎn)P．由在△ABC中，AB=AC=，BC=4

5

，即可求得BM與AM的值，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形高的比等于相似比，即可求得答案；
（2）首先根據(jù)三角函數(shù)的定義求得正方形DEFG的邊長為

2 5

5

x，然后分別從當(dāng)FG在△ABC的內(nèi)部時(shí)與當(dāng)FG在△ABC的外部時(shí)去分析求解即可求得答案．
（3）根據(jù)題意即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）作AM⊥BC于M，作BH⊥AC于H，DE如圖1所示：

DE

10

=

x

10

∵AB=BC=10，AC=45，BH⊥AC，
∴AH=

1

2

AC=2

5

，
∴BH²=AB²-AH²=102-(2

5

)2=80，
∴BH=4

5

，S△ABC=

1

2

BC•AM=

1

2

AC•BH，
∴AM=

AC•BH

BC

=

4 5 •4 5

10

=8，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

，即

DE

10

=

x

10

，
∴DE=x，
∴正方形DEFG的面積為DE²=x²；
當(dāng)FG落在BC上時(shí)，如圖2所示：設(shè)DE交AM于P，
∵△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

，即

x

10

=

8-x

8

，
解得：x=

40

9

；

（2）由（1）得，DE=x，
①當(dāng)FG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，
如圖2所示：y=DE²=x²，（0＜x＜

40

9

）；
②當(dāng)FG與BC重合或在△ABC的外部時(shí)，設(shè)DG交BC于點(diǎn)N；如圖3所示：
在Rt△DBN中，DN=8-

4

5

x，
∴y=DE•DN=x•（8-

4

5

x）=-

4

5

x2+8x（

40

9

≤x＜10）；

（3）①當(dāng)AD=時(shí)，G、B在以D為圓心（DB=DG為半徑）的圓上；理由如下：
當(dāng)G、B在以D為圓心的圓上時(shí)，DB=DG=DE=AD，
∴D為AB的中點(diǎn)，
∴AD=5；
②當(dāng)AD=

80

13

時(shí)，D、G在以B為圓心（BD=BG為半徑）的圓上；理由如下：
當(dāng)BD=BG時(shí)，N為DG的中點(diǎn)，
∴DN=

1

2

DG=

1

2

x，
∴

1

2

x=8-

4

5

x，
解得：x=

80

13

，即AD=

80

13

；
③當(dāng)AD=

50

13

時(shí)，D、B在以G為圓心（GD=GB為半徑）的圓上；理由如下：
根據(jù)題意得：GD=GB=DE=x，作GQ⊥AB于Q，如圖4所示：
則Q為BD的中點(diǎn)，DQ=

1

2

BD=5-

x

2

，△DGQ≌△ADP，
∴DQ=AP，即5-

x

2

=

4

5

x，
解得：x=

50

13

；即AD=

50

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及面積的計(jì)算；本題難度較大，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，注意準(zhǔn)確作出輔助線，掌握數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．