Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA＝AB＝2，OC＝3，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC，交OA于點(diǎn)D．將∠DBC繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點(diǎn)E和F．

1.（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；

2.（2）當(dāng)BE經(jīng)過(guò)（1）中拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，求CF的長(zhǎng)；

3.（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上取兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方），且PQ＝1，要使四邊形BCPQ的周長(zhǎng)最小，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）由題意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.

設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+2.

則

解得

∴ ．

2.（2）由＝．

∴ 頂點(diǎn)坐標(biāo)為G（1，）．

 

過(guò)G作GH⊥AB，垂足為H．

則AH＝BH＝1，GH＝－2＝．

∵ EA⊥AB，GH⊥AB，

∴ EA∥GH．

∴GH是△BEA的中位線(xiàn) ．

∴EA＝3GH＝．

過(guò)B作BM⊥OC，垂足為M ．

則MB＝OA＝AB．

∵ ∠EBF＝∠ABM＝90°，

∴ ∠EBA＝∠FBM＝90^°－∠ABF．

∴ R t△EBA≌R t△FBM．

∴ FM＝EA＝．

∵ CM＝OC－OM＝3－2＝1，

∴ CF＝FM＋CM＝．……………5分

 

3.（3）要使四邊形BCGH的周長(zhǎng)最小，可將點(diǎn)C向上

    平移一個(gè)單位，再做關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C₁，

得點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（－1，1）．

     可求出直線(xiàn)BC₁的解析式為．

     直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸x＝1的交點(diǎn)即為點(diǎn)H，坐標(biāo)為（1，）．

點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，）

【解析】略