Question

已知一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數y=

m

x

（m≠O）的圖象在第一象限交于C點，CD垂直于x軸，垂足為D．若OA=OB=OD=1．
（1）求一次函數和反比例函數的解析式．
（2）寫出使反比例函數的值大于一次函數的值的x的取值范圍．
（3）在x軸上是否存在點P，使△COP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標都求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據OA=OB=OD=1得出A、B的坐標，利用待定系數法即可求出函數解析式；
（2）將兩函數解析式組成方程組，求出交點坐標，即可求出使反比例函數的值大于一次函數的值的x的取值范圍．
（3）分以CO為底和以CO為邊兩種情況解答．

解答：解：（1）由題知：A（-1，0），B（0，1），D（1，0）（1分），
設一次函數解析式為y=kx+b，把A（-1，0），B（0，1）分別代入解析式得，

-k+b=0 b=1

，
解得

k=1 b=1

，
∴一次函數即AB解析式為y=x+1（1分）
當x=1時，y=2，即C（1，2），（1分）
∴反比例函數解析式：y=

2

x

，（1分）

（2）將兩函數解析式組成方程組

y=x+1 y= 2 x

，
求出其交點坐標為（1，2），（-2，-1）．
故可知反比例函數的值大于一次函數的值，
x＜-2，（1分）或0＜x＜1．（1分）

（3）設P（x，0），
∵C（1，2），
∴OC=

5

，
∴當OC=PC時，則

(x-1)2+22

=

5

，解得x=2或x=

5

2

；
當OC=OP時，則|x|=

5

，解得x=±

5

，
故P點坐標為：（2，0），（

5

2

，0），（

5

，0）（-

5

，0）．（各1分）

點評：此題是一道反比例函數綜合題，涉及待定系數法、一次函數與反比例函數的交點問題、及三角形的存在性問題，難度較大，值得關注．