Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最��？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值．若沒有，請說明理由．
（4）若點(diǎn)M從B點(diǎn)以每秒個(gè)單位沿BA方向向A點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)N從C點(diǎn)以每秒個(gè)單位向沿CB方向A點(diǎn)運(yùn)動，問t當(dāng)為何值時(shí)，以B，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？

Answer 1

解：（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得
，
∴，
∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）存在．
理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸x=-1對稱，
∴直線BC與x=-1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)△AQC周長最小，
∵y=-x²-2x+3，
∴C的坐標(biāo)為：（0，3），
直線BC解析式為：y=x+3，
x=-1時(shí)，y=-1+3=2，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是Q（-1，2）；

（3）存在．
理由如下：如圖，設(shè)P點(diǎn)（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0），
則PE=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x，
∴S_△BPC=×PE×[x-（-3）]+×PE×（0-x），
=（x+3）（-x²-3x）+（-x）（-x²-3x）
=-（x²+3x），
=-（x+）²+，
當(dāng)x=-時(shí)，△PBC的面積有最大值，最大值是，
當(dāng)x=-時(shí)，-x²-2x+3=，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-，）；

（4）在Rt△OBC中，BC===3，
運(yùn)動t秒時(shí)，BM=t，BN=3-t，
①∠BMN是直角時(shí)，∵△MBN∽△OBC，
∴=，
即=，
解得t=，
②∠BNM是直角時(shí)，∵△NBM∽△OBC，
∴=，
即=，
解得t=，
綜上所述，t為或時(shí)，以B，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．
分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，將點(diǎn)A、B代入函數(shù)解析式，列出方程組即可求得b、c的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）根據(jù)題意可知，邊AC的長是定值，要想△QAC的周長最小，即是AQ+CQ最小，所以此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的位置，找到點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)B，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，直線BC與對稱軸的交點(diǎn)即是所求的點(diǎn)Q；
（3）存在，根據(jù)二次函數(shù)解析式設(shè)得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將△BCP的面積表示成二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的方法即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）分別表示出BM、BN的長度，然后分①∠BMN是直角，②∠BNM是直角兩種情況，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，注意要分情況討論求解，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．